格林函数--泊松方程

泊松方程是

(1)

其中 通常被称为势函数，而 被称为密度函数，因此在这种情况下，微分算符是 。 像往常一样，我们正在寻找格林函数 使得

(2)

但从 拉普拉斯算子，

(3)

所以

(4)

解是

(5)

在 球谐函数 中展开 得到

(6)

其中 和 是 大于/小于符号。 这个表达式简化为

(7)

其中 是 勒让德多项式，并且 。 方程 (6) 和 (7) 给出了 勒让德多项式 的加法定理。

在 圆柱坐标 中，格林函数要复杂得多，

(8)

其中 和 是 第一类修正贝塞尔函数 和 第二类 （Arfken 1985）。