广义函数

广义函数，也称为“分布”或“理想函数”，是所有规则序列的类，这些规则序列的特别良态函数等价于给定的规则序列。顾名思义，广义函数是函数概念的推广。例如，在物理学中，被球棒击打的棒球会遇到来自球棒的力，作为时间的函数。由于来自球棒的动量传递被建模为瞬时发生，因此力实际上不是函数。相反，它是delta 函数的倍数。分布集包含函数（局部可积）和Radon 测度。请注意，术语“分布”与统计分布密切相关。

广义函数被定义为在无限可微函数的空间上的连续线性泛函，使得所有连续函数都具有本身是广义函数的导数。最常见的广义函数是delta 函数。 Vladimirov (1971) 包含了从物理学家的角度对分布的精彩处理，而 Gel'fand 和 Shilov (1964abcde) 的多卷著作是对该领域的经典而严谨的处理。 Schwarz 的一个结果表明，分布不能在复数 上一致地定义。

虽然可以添加分布，但当分布具有重合的奇异支撑时，无法将分布相乘。尽管如此，可以取分布的导数，以获得另一个分布。因此，它们可能满足线性偏微分方程，在这种情况下，分布称为弱解。例如，给定任何局部可积函数 ，询问 泊松方程的解 是有意义的

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仅要求方程在分布意义上成立，即两边是相同的分布。分布的导数 的定义由下式给出

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分布也与函数不同，因为它们是协变的，也就是说，它们向前推送。给定一个光滑函数 ， 在 上的分布向前推送到 上的分布。相反， 在 上的实函数拉回到 上的函数，即 。

根据定义，分布是对具有特定拓扑的紧支撑的光滑函数的对偶。例如，delta 函数 是线性泛函 。对应于函数 的分布是

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以及对应于测度 的分布是

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分布 沿着 的前推映射定义为

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并且 的导数定义为 ，其中 是 的形式伴随。例如，delta 函数的一阶导数由下式给出

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与任何函数空间的情况一样，拓扑决定了哪些线性泛函是连续的，即在对偶向量空间中。拓扑由半范数族定义，

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其中 sup 表示上确界。它与紧子集上的 C-infty 拓扑一致。在这种拓扑中，序列收敛，，当且仅当存在一个紧集 ，使得所有 都支撑在 中，并且每个导数 在 中一致收敛到 。因此，常数函数 1 是一个分布，因为如果 ，则

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