多对数函数

多对数函数 ，也称为 Jonquière 函数，是函数

(1)

在 复平面 上，在开 单位圆盘 内定义。然后，它在整个 复平面 上的定义通过 解析延拓 唯一地得出。

请注意，类似的 符号 用于 对数积分。

多对数函数也表示为 ，等于

(2)

其中 是 Lerch 超越函数 (Erdélyi et al. 1981, p. 30)。多对数函数出现在费曼图积分中（特别是在计算量子电动力学对电子旋磁比的修正时），特殊情况 和 分别称为 二重对数函数 和 三重对数函数。多对数函数在 Wolfram 语言 中实现为PolyLog[n, z].

多对数函数也出现在 费米-狄拉克分布 积分的闭合形式中

(3)

其中 是 伽玛函数，以及 玻色-爱因斯坦分布

(4)

特殊情况 简化为

(5)

其中 是 黎曼 zeta 函数。但是请注意，对于固定的复数 ， 的含义并非完全明确，因为它取决于在四维 空间中如何逼近 。

负整数阶的多对数函数出现在 形式为 的和中

			(6)
			(7)

其中 是 欧拉数。多对数函数也出现在广义 调和数 的和中，如

(8)

对于 。

低阶多对数函数的特殊形式包括

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

在自变量 和 1 处，一般多对数函数变为

			(13)
			(14)

其中 是 狄利克雷 eta 函数， 是 黎曼 zeta 函数。自变量为 的多对数函数也可以针对小 进行解析求值，

			(15)
			(16)
			(17)

对于更高的阶数，尚不清楚是否存在类似的公式（Lewin 1991, p. 2）。 出现在电子旋磁比的三阶修正项中。

多对数函数的导数本身也是一个多对数函数，

(18)

Bailey et al. 表明

(19)

对于多对数函数存在许多非凡的恒等式，包括由 满足的惊人恒等式，其中 (OEIS A073011) 是最小的 塞勒姆常数，即 Lehmer 的 Mahler 测度问题 中多项式的最大正根 (Cohen et al. 1992; Bailey and Broadhurst 1999; Borwein and Bailey 2003, pp. 8-9)。

对于函数的多对数积分，尚不清楚是否存在通用的 算法。