圣彼得堡悖论

考虑一个由尼古拉斯·伯努利首次提出的游戏，玩家投注在第一次出现正面之前需要抛掷多少次硬币。玩家最初支付固定金额，然后在第次抛掷时硬币正面朝上，则获得 美元。收益的期望值为

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美元，因此可以下注任何有限金额的钱，玩家平均下来仍然会占优势。

费勒（Feller，1968）讨论了该游戏的修改版本，其中如果试验次数超过固定次数 ，玩家将一无所获。这个修改后游戏的经典理论认为 是合理的入场费，但费勒指出，“现代学生很难理解关于这个‘悖论’的神秘讨论。”

在游戏的另一个修改版本中，玩家投注 2 美元赌第一次抛掷出现正面，4 美元赌第二次抛掷出现正面（如果第一次没有出现正面），8 美元赌第三次抛掷出现正面，依此类推。那么期望收益是

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因此，玩家显然可能亏损任何金额的钱，但最终仍然会占优势。通过区分最终收益金额和游戏中净赢金额，可以清楚地解决这个悖论。不考虑先前投注损失的金额而仅考虑收益是具有误导性的，如下所示。在玩家第一次获胜时（例如，在第次抛掷时），他将损失

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美元。然而，在这次抛掷中，他赢得了 美元。这意味着玩家的净收益高达 2 美元，无论最终获胜需要多少次抛掷。正如预期的那样，在连续多次反面之后的大额收益与玩家必须投入的大量资金完全平衡。实际上，通过注意到在第次抛掷时获胜的概率是 ，可以看出，获胜所需的抛掷次数的概率分布只是一个参数为 的几何分布。