扩张域

称一个域 是域 的扩张域（或域扩张，或扩张），记为 ，如果 是 的一个子域。例如，复数是实数的扩张域，而实数是有理数的扩张域。

扩张域 的扩张域的次数（或相对次数，或指标），记为 ，是 作为 上的向量空间的维数，即

(1)

给定一个域 ，有几种方法来定义扩张域。如果 包含在一个更大的域 中。然后通过选取一些不在 中的元素 ，定义 为包含 和 的 的最小子域。例如，有理数可以通过复数 扩展，得到 。如果只有一个新元素，则该扩张称为单扩张。添加新元素的过程称为“添加”。

由于元素可以以任何顺序添加，因此只需理解单扩张即可。因为 包含在一个更大的域中，所以它的代数运算，例如乘法和加法，是用 中的元素定义的。因此，

(2)

上面的表达式表明多项式 很重要。事实上，有两种可能性。

1. 对于某个正整数 ， 次幂 可以写成（有限）线性组合

(3)

其中 ，是 的小于 的幂。在这种情况下， 称为 上的代数数， 是一个代数扩张。扩张的扩张域的次数是满足上述条件的最小整数 ，多项式 称为扩张域的最小多项式。

2. 否则，不存在像第一种情况那样的整数 。那么 是 上的超越数， 是超越扩张，其超越次数为 1。

请注意，在代数扩张的情况下（上述情况 1），扩张域可以写成

(4)

与上面的类似表达式不同，环 是否为域 并非显而易见的。以下论证展示了如何在这个环中进行除法。由于没有次数小于 的多项式 可以整除扩张域的最小多项式 ，因此任何这样的多项式 都是互质的。也就是说，存在多项式 和 使得 ，或者更确切地说，

(5)

并且 是 的乘法逆元。

定义扩张的另一种方法是使用不定变量 。那么 是以 为系数的单变量有理函数集，并且直到同构，它是超越次数为 1 的唯一超越扩张。多项式 是有理函数的分母和分子。给定一个在 上不可约的非常数多项式 ，商环 是模 p 的多项式。特别地，如上述情况 1， 由 生成，其中 是 的次数。分式域 ，写作 ，是 的代数扩张，它与 通过 的一个根的扩张同构。例如，。因此，如果 和 是不可约多项式 的不同根，则 。当 时，这种同构反映了域自同构，它是构成伽罗瓦群的域的对称性之一。

数域是有理数的有限代数扩张。数学家们数百年来一直使用数域来求解诸如 这样的方程，其中所有变量都是整数，因为他们试图在扩张 中分解方程。例如，很容易看出 的唯一整数解是 ，因为有四种方法将 5 写成整数的乘积。

(6)

因此，理解数域中的素数是什么变得必要。事实上，这导致了一些混乱，因为唯一分解并不总是成立。唯一分解的缺失由类群和类数来衡量。

可以证明，任何数域都可以写成 ，对于某个 ，也就是说，每个数域都是有理数的单扩张。当然， 的选择不是唯一的，例如，。