域自同构

域 的域自同构是一个双射映射 ，它保留了 的所有代数性质，更准确地说，它是一个同构。例如，复共轭是（复数）的域自同构，因为

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域自同构固定包含 1 的最小域，在域特征为零的情况下，这个最小域是 ，即有理数。

固定较小域 的 的自同构集合，通过复合运算，形成一个群，称为伽罗瓦群，记为 。例如，取 ，有理数，以及

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它是 的一个扩张。那么， 的唯一自同构（固定 ）是 ，其中 。 和 是 的根，这绝非偶然。基本的观察是，对于任何自同构 ，任何系数在 中的多项式 ，以及任何域元素 ，

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所以，如果 是 的根，那么 也是 的根。

有理数 形成的域没有非平凡自同构。稍微复杂一点的是 通过 （2 的实立方根）的扩张。

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这个扩张没有非平凡自同构，因为任何自同构都将由 决定。但如上所述， 的值必须是 的根。由于 只有一个这样的根，自同构必须固定它，也就是说，，因此 必须是恒等映射。