扩域的极小多项式

给定一个域 和一个扩域 ，如果 是 上的一个代数元素，则 在 上的极小多项式是唯一的首一不可约多项式 使得 。它是 理想 的生成元

属于 。

任何 的首一不可约多项式 在某个扩域 中都有一个根 ，因此它是 的极小多项式。这源于以下构造。商环 是一个域，因为 是一个极大理想，而且 包含 。那么 是 的极小多项式，剩余类 为 在 中。

，这也是通过将 添加到 获得的单扩域。因此，在这种情况下，，并且扩域与扩环一致。

一般而言，如果 是 的任何扩域的任何其他代数元素，且具有相同的极小多项式 ，则 仍然成立，并且该域与 同构。