唯一分解

在一个 整环 中，一个非零不可逆元素 分解为素（或不可约）因子的乘积

(1)

是唯一的，如果同类型的任何其他分解都具有相同数量的因子

(2)

并且其因子可以重新排列，使得对于所有索引 ， 和 相差一个可逆因子。

元素的素因子分解（如果存在）始终是唯一的，但这通常不适用于不可约因子分解：在环 中，

(3)

是两个不同的不可约因子分解，没有一个是素因子分解。 2 不是 中的素元素，因为它不能整除中间表达式的任何一个因子。 事实上，

(4)

都位于 之外。 此外，

(5)

这表明 也不是素数。

一个 整环，其中每个非零不可逆元素都允许唯一的不可约因子分解，称为 唯一分解整环。