距离

两点之间的距离是连接它们的路径的长度。在平面上，点 和 之间的距离由勾股定理给出，

(1)

在欧几里得三维空间中，点 和 之间的距离是

(2)

一般来说，在欧几里得空间 中，点 和 之间的距离由下式给出

(3)

对于弯曲或更复杂的表面，所谓的度量可以用来通过积分计算两点之间的距离。当没有限定时，“距离”通常指的是两点之间最短的距离。例如，在球体上两点之间有无数条路径，但一般来说，只有一条最短路径。两点之间最短的距离是两点之间所谓的测地线的长度。在球体的情况下，测地线是包含这两点的大圆的一段。

设 是流形 中从 到 的光滑曲线，其中 和 。那么 ，其中 是 在 的切空间。 关于黎曼结构的曲线长度由下式给出

(4)

并且 和 之间的距离 是 和 之间由下式给出的最短距离

(5)

为了指定平面中 个点的相对距离，需要 个坐标，因为第一个点总是可以取为 (0, 0)，第二个点可以取为 ，这定义了 x 轴。 剩余的 个点每个需要两个坐标。然而，距离的总数是

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其中 是二项式系数。 因此， 个点之间的距离受 个关系的约束，其中

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对于 , 2, ..., 这给出了 0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... (OEIS A000217) 关系，并且 个点之间关系的数目是三角数 。

虽然对于 和 个点没有关系，但是对于 ( 四边形 )，有一个关系 (Weinberg 1972)

(9)

这个方程可以通过写出下式推导出来

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并通过从 , , , , , 和 的方程中消除 和 。 这就得到了一个 Cayley-Menger 行列式

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正如 Uspensky (1948, p. 256) 所观察到的。