点-面距离

给定一个平面

(1)

和一个点 ，平面的法向量由下式给出

(2)

以及从平面到点的向量由下式给出

(3)

投影 到 得到从点到平面的距离 为

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

去掉绝对值符号得到有符号距离，

(10)

如果 与法向量 在平面的同一侧，则为正值；如果在平面的另一侧，则为负值。

对于以 Hessian 法式指定的平面，这可以非常方便地用简单方程表示

(11)

其中 是单位法向量。因此，平面到原点的距离由 给出（Gellert et al. 1989, p. 541）。

给定三个点 ，其中 , 2, 3，计算单位法向量

(12)

那么，从点 到包含这三个点的平面的（有符号）距离由下式给出

(13)

其中 是这三个点中的任意一个。展开坐标表明

(14)

因为所有点都在同一平面上，所以必须如此，尽管从上面的向量方程来看，这一点远非显而易见。

当点位于由其他三个点确定的平面上时，称其与它们共面，并且上面公式给出的距离坍缩为 0。