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立方体点选取


立方体点选取是超立方体点选取的三维情况。

单位立方体内部随机选取的点到中心的平均距离由下式给出

d^__(center)=int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(1)
=8int_0^(1/2)int_0^(1/2)int_0^(1/2)sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(2)
=1/8sqrt(3)-1/(48)pi-1/4ln2+1/2ln(1+sqrt(3))
(3)
=0.48029597....
(4)

类似地,从随机选取的点到固定角点的平均距离由下式给出

d^__(corner)=B_3(1)
(5)
=2d^__(center)
(6)
=int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(7)
=1/4sqrt(3)-1/(24)pi-1/2ln2+ln(1+sqrt(3))
(8)
=0.9605919...,
(9)

其中 B_n(s)B-盒积分

从单位立方体的中心到给定面的平均距离是

d^_=int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)sqrt(x^2+y^2+1/4)dxdy
(10)
=8int_0^(1/2)int_0^ysqrt(x^2+y^2+1/4)dxdy
(11)
=1/3ln(2+sqrt(3))+1/6sqrt(3)-1/(36)pi
(12)
=0.640394...
(13)

(OEIS A097047)。


另请参阅

球体点选取, 立方体线选取, 超立方体点选取, 球体点选取, 正方形点选取, 单位立方体, 单位正方形积分

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "盒积分。" J. Comput. Appl. Math. 206, 196-208, 2007.Sloane, N. J. A. 序列 A097047,出自 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

立方体点选取

请引用为

Weisstein, Eric W. "立方体点选取。" 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CubePointPicking.html

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