点-点距离--二维

在一般曲面的情况下，沿曲面测量的两点之间的距离称为测地线。例如，球面上两点之间的最短距离是大球体的大圆弧。

在欧几里得平面 中，最小化两点之间距离的曲线显然是直线段。这可以使用变分法和所谓的欧拉-拉格朗日微分方程在数学上证明如下。线元素在 中由下式给出

因此，两点 和 之间的弧长为

其中 ，我们要最小化的量是

求导数得到

因此，欧拉-拉格朗日微分方程变为

积分并重新排列，

因此，解为

这是一条直线。现在验证弧长确实是点之间的直线距离。 和 由下式确定

求解 和 得到

因此，距离是

正如预期的那样。

对于具有精确三线坐标 和 的两点，它们之间的距离是

其中 是三角形的面积（Scott 1894；Carr 1970；Kimberling 1998，第 31 页）。

球面上两点之间的最短距离是所谓的大圆距离。