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点-点距离——三维

在欧几里得空间 R^3 中，最小化两点之间距离的曲线显然是直线段。这可以使用变分法和所谓的欧拉-拉格朗日微分方程在数学上证明如下。线元在 R^3 中由下式给出

ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2),
(1)

因此，点 x_1 和 x_2 之间的弧长为

L=intds=int_(x_1)^(x_2)sqrt(1+y^'^2+z^('2))dx
(2)

我们正在最小化的量是

f=sqrt(1+y^'^2+z^('2)).
(3)

求导得到

(partialf)/(partialy)=0
(4)
(partialf)/(partialz)=0
(5)

和

(partialf)/(partialy^')=(y^')/(sqrt(1+y^('2)+z^('2)))
(6)
(partialf)/(partialz^')=(z^')/(sqrt(1+y^('2)+z^('2))),
(7)

因此，欧拉-拉格朗日微分方程变为

d/(dx)((y^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2))))=0
(8)
d/(dx)((z^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2))))=0.
(9)

这些给出

(y^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2)))=c_1
(10)
(z^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2)))=c_2.
(11)

取比率，

z^'=(c_2)/(c_1)y^'
(12)
(y^')/(sqrt(1+y^('2)+((c_2)/(c_1))^2y^('2)))=c_1
(13)
y^('2)=c_1^2[1+y^('2)+((c_2)/(c_1))^2y^('2)]=c_1^2+y^('2)(c_1^2+c_2^2),
(14)

得到

y^('2)=(c_1^2)/(1-c_1^2-c_2^2)=a_1^2
(15)
z^('2)=((c_2)/(c_1))^2y^('2)=(c_2^2)/(1-c_1^2-c_2^2)=b_1^2.
(16)

因此，y^'=a_1 和 z^'=b_1，所以解是

[x; y; z]=[x; a_1x+a_0; b_1x+b_0],
(17)

这是参数为 x in [x_1,x_2] 的直线的参数表示。验证弧长得到

L=sqrt(1+a_1^2+b_1^2)(x_2-x_1)
(18)

其中

[y_1; y_2]=[x_1 1; x_2 1][a_1; a_0]
(19)
[z_1; z_2]=[x_1 1; x_2 1][b_1; b_0].
(20)

另请参阅

变分法, 圆三角形选取, 大圆, 线线选取, 点-点距离——二维, 点-二次距离, 球点选取

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参考文献

Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版。 奥兰多，佛罗里达州：学术出版社，第 930-931 页，1985 年。

以此引用

韦斯坦因，埃里克·W. “点-点距离——三维。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Point-PointDistance3-Dimensional.html

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