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圆-圆 相交

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CircleIntersections

两个圆可能相交于两个虚点、一个退化点或两个不同的点。

两个圆的交点确定一条线，称为根轴。如果三个圆两两相交于一个点，则它们的交点是它们两两根轴的交点，称为根心。

CircleCircleIntersection

设两个圆的半径 R 和 r，圆心分别为 (0,0) 和 (d,0) 相交于一个形状像非对称透镜的区域。这两个圆的方程是

x^2+y^2=R^2
(1)
(x-d)^2+y^2=r^2.
(2)

结合 (1) 和 (2) 得到

(x-d)^2+(R^2-x^2)=r^2.
(3)

展开并重新排列得到

x^2-2dx+d^2-x^2=r^2-R^2.
(4)

求解 x 得到

x=(d^2-r^2+R^2)/(2d).
(5)

连接透镜尖端的弦因此具有半长 y，通过将 x 代入回方程得到

y^2=R^2-x^2=R^2-((d^2-r^2+R^2)/(2d))^2
(6)
=(4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)/(4d^2).
(7)

求解 y 并代入回方程以得到整个弦长 a=2y，然后得到

a=1/dsqrt(4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)
(8)
=1/dsqrt((-d+r-R)(-d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)).
(9)

同样的公式直接适用于球-球相交问题。

要找到圆相交形成的非对称“透镜”的面积，只需使用半径为 R^' 和三角形高度为 d^' 的弓形面积公式

A(R^',d^')=R^('2)cos^(-1)((d^')/(R^'))-d^'sqrt(R^('2)-d^('2))
(10)

两次，透镜的每一半一次。注意到两个弓形三角形的高度是

d_1=x=(d^2-r^2+R^2)/(2d)
(11)
d_2=d-x=(d^2+r^2-R^2)/(2d).
(12)

结果是

A=A(R,d_1)+A(r,d_2)
(13)
=r^2cos^(-1)((d^2+r^2-R^2)/(2dr))+R^2cos^(-1)((d^2+R^2-r^2)/(2dR))-1/2sqrt((-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)).
(14)

可以检查此表达式的极限情况，当 d=R+r 时结果为 0，并且

A=2R^2cos^(-1)(d/(2R))-1/2dsqrt(4R^2-d^2)
(15)
=2A(1/2d,R)
(16)

当 r=R 时，正如预期的那样。

Circle-CircleIntersectionHalf

为了使两个单位圆盘 (R=1) 面积的一半重叠，在上述方程中设置 A=piR^2/2=pi/2

1/2pi=2cos^(-1)(1/2d)-1/2dsqrt(4-d^2)
(17)

并进行数值求解，得到 d=0.8079455... (OEIS A133741)。

Circle3Intersection

如果三个对称放置的相等圆相交于一个点，如上图所示，则由圆的两两相交形成的三个透镜形区域的总面积由下式给出

A=pi-3/2sqrt(3).
(18)
Circle4Intersection

类似地，由圆的两两相交形成的四个透镜形区域的总面积由下式给出

A=2(pi-2).
(19)

另请参阅

Borromean 环, Brocard 三角形, 圆-椭圆 相交, 圆-线 相交, 弓形, 圆弧三角形, 双泡, 山羊问题, 约翰逊定理, 透镜, 月牙形, 穆罕默德之印, Moss 蛋, 根心, 根轴, 勒洛三角形, 球-球 相交, Steiner 构造, 三角形弧, 三曲枝, 维恩图, 鱼泡形

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参考文献

Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书 中的序列 A133741。

请引用为

Weisstein, Eric W. “圆-圆 相交。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Circle-CircleIntersection.html

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