山羊问题

山羊问题（或公牛拴绳问题）考虑一个半径为 的围栏圆形场地，一只山羊（或公牛或其他动物）通过长度为 的绳索拴在围栏内部或外部的点上，并询问关于可以放牧多少场地的各种问题的解决方案。

将山羊拴在半径为 1 的围栏内部的点上，使用长度为 的链条，考虑必须使用多长的链条才能让山羊恰好放牧场地面积的一半。答案是通过使用 圆-圆相交 的方程获得的

(1)

取 得到

(2)

如上图所示。设置 (即， 的一半) 导致方程

(3)

该方程无法精确求解，但其近似解为

(4)

(OEIS A133731)。

现在考虑将山羊拴在围栏的外部（或等效地，拴在水平横截面为圆的筒仓外部），半径为 。假设 ，因此山羊无法到达比其起点对面围栏上的点更远的地方（Hoffman 1998，我们将 Hoffman 的公牛替换为更平凡的山羊）。山羊显然可以在半径为 的半圆内部放牧，该半圆的直径与围栏相切。此外，山羊可以在半圆两侧放牧两个区域，这些区域以围栏为内边界，以圆渐屈线为外边界。为了找到该区域的面积，假设围栏的方向使得山羊可以到达的最远圆周点位于位置 。现在，请注意，圆的渐开线的方程由下式给出

			(5)
			(6)

从几何学可知，山羊将在径向束缚和被拉到圆的切线束缚之间转换，点在 处，因此

			(7)
			(8)
			(9)

将 (8) 和 (9) 相等并求解 ，然后表明这种情况发生在参数 处。山羊可以放牧的渐开线部分的面积由下式给出

			(10)
			(11)
			(12)

将此面积的两倍加到半径为 的半圆的面积，然后得到山羊可以放牧的总面积为

(13)

上面说明了 的多个比率的 grazable 面积。请注意， 的情况形成一条类似于但不等同于心脏线的曲线。