肾形线

具有两个尖点的外摆线被称为肾形线。“Nephroid”这个名字的意思是“肾形的”，最早由 Proctor 在 1878 年用于指代具有两个尖点的外摆线 (MacTutor Archive)。

肾形线是源自心脏线尖点的光线经其反射后的反射包络线。此外，惠更斯在 1678 年指出，当光源位于无穷远处时，肾形线是圆的反射包络线，他在 1690 年出版的《光论》中发表了这一观察结果 (MacTutor Archive)。（Trott 2004 年，第 17 页错误地指出，平行光照射到任何凹面镜上的反射包络线都是肾形线。）弹出式卡片产生的 “扁平遮阳曲线”（被称为“骑士遮阳板”）的形状是半个肾形线 (Jakus and O'Rourke 2012)。

由于肾形线有 个尖点，，以及关于参数 的 方程由外摆线方程给出

(1)

其中 ,

(2)

其中

(3)

这可以写成

(4)

参数方程为

			(5)
			(6)
			(7)

笛卡尔方程为

(8)

肾形线的面积和弧长为，

			(9)
			(10)

弧长、曲率和切线角作为参数 的函数为

			(11)
			(12)
			(13)

其中， 和 的表达式对于 有效。

肾形线可以生成为以给定圆为圆心且与该圆的直径之一相切的圆的包络线 (Wells 1991)。