带隧道的球体

找到引力球体上两点 和 之间的隧道，该隧道在重力作用下给出最短的 transit 时间。假设球体是非旋转的，半径为 ，且具有均匀密度 。那么极坐标系中的标准形式 Euler-Lagrange 微分方程是

(1)

以及边界条件 、 、 和 。积分一次得到

(2)

但这是由半径为 的圆在半径为 的圆内滚动生成的摆线内旋轮线方程，因此隧道形状像摆线内旋轮线的弧线。从点 到点 的 transit 时间是

(3)

其中

(4)

是表面重力，其中 是万有引力常数。