贝尔特拉米恒等式

贝尔特拉米在 1868 年发现的变分法中的一个恒等式。欧拉-拉格朗日微分方程是

(1)

现在，考察 关于 的导数

(2)

求解 项得到

(3)

现在，将 (1) 乘以 得到

(4)

然后将 (3) 代入 (4) 得到

(5)

(6)

如果 ，这种形式尤其有用，因为在这种情况下

(7)

这立即得到

(8)

其中 是积分常数 (Weinstock 1974, pp. 24-25; Arfken 1985, pp. 928-929; Fox 1988, pp. 8-9)。

贝尔特拉米恒等式极大地简化了关于给定轴在两个指定点之间最小面积 旋转曲面的解。它也使得最速降线问题的直接求解成为可能。