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贝尔特拉米恒等式

贝尔特拉米在 1868 年发现的变分法中的一个恒等式。欧拉-拉格朗日微分方程是

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0.
(1)

现在，考察 f 关于 x 的导数

(df)/(dx)=(partialf)/(partialy)y_x+(partialf)/(partialy_x)y_(xx)+(partialf)/(partialx).
(2)

求解 partialf/partialy 项得到

(partialf)/(partialy)y_x=(df)/(dx)-(partialf)/(partialy_x)y_(xx)-(partialf)/(partialx).
(3)

现在，将 (1) 乘以 y_x 得到

y_x(partialf)/(partialy)-y_xd/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0.
(4)

然后将 (3) 代入 (4) 得到

(df)/(dx)-(partialf)/(partialy_x)y_(xx)-(partialf)/(partialx)-y_xd/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0
(5)
-(partialf)/(partialx)+d/(dx)(f-y_x(partialf)/(partialy_x))=0.
(6)

如果 f_x=0，这种形式尤其有用，因为在这种情况下

d/(dx)(f-y_x(partialf)/(partialy_x))=0,
(7)

这立即得到

f-y_x(partialf)/(partialy_x)=C,
(8)

其中 C 是积分常数 (Weinstock 1974, pp. 24-25; Arfken 1985, pp. 928-929; Fox 1988, pp. 8-9)。

贝尔特拉米恒等式极大地简化了关于给定轴在两个指定点之间最小面积 旋转曲面的解。它也使得最速降线问题的直接求解成为可能。

另请参阅

最速降线问题, 变分法, 欧拉-拉格朗日微分方程, 旋转曲面

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参考文献

Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Fox, C. 变分法导论。 New York: Dover, 1988.Weinstock, R. 变分法及其在物理学和工程学中的应用。 New York: Dover, 1974.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

贝尔特拉米恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "贝尔特拉米恒等式。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/BeltramiIdentity.html

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