主题
Search

等周问题

找到一条给定周长的闭合平面曲线，使其包围的面积最大。解是圆。如果考虑的曲线类别限定为光滑曲线，则等周问题可以用符号表示如下：找到一条参数方程为 x=x(t), y=y(t)，其中 t in [t_1,t_2] 区间的弧，使得 x(t_1)=x(t_2), y(t_1)=y(t_2) （且没有进一步的交点），并受以下约束：

l=int_(t_1)^(t_2)sqrt(x^('2)+y^('2))dt

使得

A=1/2int_(t_1)^(t_2)(xy^'-x^'y)dt

为最大值。

芝诺多罗斯证明了圆的面积大于任何具有相同周长的多边形的面积，但直到 1841 年斯坦纳发表了几个证明后，这个问题才得到严格解决 (Wells 1991)。

另请参阅

圆, 狄多问题, 双泡, 等周商, 等周定理, 等体积问题, 周长

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. and Bailey, D. 实验数学：21 世纪的似是而非的推理。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 80, 2003.Bogomolny, A. "等周定理与不等式。" http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml.Isenberg, C. "给定周长所包含的最大面积。" Appendix V in 肥皂膜和肥皂泡的科学。 New York: Dover, pp. 171-173, 1992.Littlewood, J. E. 利特尔伍德的杂集。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 32, 1986.Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 149-150, 1999.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何学词典。 London: Penguin, pp. 122-124, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

等周问题

请引用为

Weisstein, Eric W. "等周问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IsoperimetricProblem.html

主题分类