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最速降线问题

找到一条曲线的形状，使得一个珠子从静止开始沿该曲线滑动，并受重力加速，从一个点滑动到另一个点的时间最短（无摩擦）。该术语源自希腊语 betarhoalphachiiotasigmatauomicronsigma (brachistos) “最短的” 和 chirhoomicronnuomicronsigma (chronos) “时间，延迟。”

最速降线问题是变分法中最早提出的问题之一。牛顿在 1696 年被挑战解决这个问题，并在第二天就解决了（Boyer 和 Merzbach 1991，第 405 页）。事实上，解，即摆线的一段，是由莱布尼茨、洛必达、牛顿和两位伯努利发现的。约翰·伯努利通过类比考虑光线在不同密度透明层中折射的路径来解决这个问题（Mach 1893，Gardner 1984，Courant 和 Robbins 1996）。实际上，约翰·伯努利最初找到了一个不正确的证明，证明曲线是摆线，并挑战他的兄弟雅各布找到所需的曲线。当雅各布正确地解决了问题后，约翰试图用他的证明来代替（Boyer 和 Merzbach 1991，第 417 页）。

在解中，珠子实际上可能会沿着摆线向上移动一段距离，但该路径仍然比直线（或任何其他直线）更快。

从点 P_1 到另一点 P_2 的 travel time 由积分给出

t_(12)=int_(P_1)^(P_2)(ds)/v,
(1)

其中 s 是弧长，v 是速度。任何点的速度都可以通过简单的能量守恒应用来获得，即动能等于重力势能，

1/2mv^2=mgy,
(2)

得到

v=sqrt(2gy).
(3)

将此代入 (◇) 以及恒等式

ds=sqrt(dx^2+dy^2)=sqrt(1+y^('2))dx
(4)

然后得到

t_(12)=int_(P_1)^(P_2)(sqrt(1+y^('2)))/(sqrt(2gy))dx
(5)
=int_(P_1)^(P_2)sqrt((1+y^('2))/(2gy))dx.
(6)

因此，要变分的函数是

f=(1+y^('2))^(1/2)(2gy)^(-1/2).
(7)

要继续进行，通常需要应用完整的欧拉-拉格朗日微分方程

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy^'))=0.
(8)

然而，函数 f(y,y^') 特别好，因为 x 不显式出现。因此，partialf/partialx=0，我们可以立即使用贝尔特拉米恒等式

f-y^'(partialf)/(partialy^')=C.
(9)

计算

(partialf)/(partialy^')=y^'(1+y^('2))^(-1/2)(2gy)^(-1/2),
(10)

从 f 中减去 y^'(partialf/partialy^')，然后简化得到

1/(sqrt(2gy)sqrt(1+y^('2)))=C.
(11)

两边平方并稍微重新排列得到

[1+((dy)/(dx))^2]y=1/(2gC^2)
(12)
=k^2,
(13)

其中旧常数 C 的平方已用新的（正）常数 k^2 表示。该方程由参数方程求解

x=1/2k^2(theta-sintheta)
(14)
y=1/2k^2(1-costheta),
(15)

这些方程——瞧！——是摆线的方程。

如果包括动摩擦，该问题也可以解析求解，尽管解会复杂得多。在这种情况下，必须包括对应于重量的法向分量和加速度的法向分量（由于路径曲率而存在）的项。包括这两个项需要约束变分技术（Ashby 等人 1975），但仅包括重量的法向分量只能给出近似解。切向量和法向量是

T=(dx)/(ds)x^^+(dy)/(ds)y^^
(16)
N=-(dy)/(ds)x^^+(dx)/(ds)y^^,
(17)

重力和摩擦力是

F_(gravity)=mgy^^
(18)
F_(friction)=-mu(F_(gravity)N^.)T
(19)
=-mumg(dx)/(ds)T,
(20)

沿着曲线的分量是

F_(gravity)T^.=mg(dy)/(ds)
(21)
F_(friction)T^.=-mumg(dx)/(ds),
(22)

因此，牛顿第二定律给出

m(dv)/(dt)=mg(dy)/(ds)-mumg(dx)/(ds).
(23)

但是

(dv)/(dt)=v(dv)/(ds)
(24)
=1/2d/(ds)(v^2)
(25)
1/2v^2=g(y-mux)
(26)
v=sqrt(2g(y-mux)),
(27)

所以

t=intsqrt((1+(y^')^2)/(2g(y-mux)))dx.
(28)

使用欧拉-拉格朗日微分方程得到

[1+y^('2)](1+muy^')+2(y-mux)y^('')=0.
(29)

这可以简化为

(1+(y^')^2)/((1+muy^')^2)=C/(y-mux).
(30)

现在令

y^'=cot(1/2theta),
(31)

解是

x=1/2k^2[(theta-sintheta)+mu(1-costheta)]
(32)
y=1/2k^2[(1-costheta)+mu(theta+sintheta)].
(33)

另请参阅

变分法, 摆线, 等时降线问题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ashby, N.; Brittin, W. E.; Love, W. F.; and Wyss, W. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Amer. J. Phys. 43, 902-905, 1975.Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1991.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1996.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 130-131, 1984.Haws, L. and Kiser, T. "Exploring the Brachistochrone Problem." Amer. Math. Monthly 102, 328-336, 1995.Hayen, J. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Int. J. Non-Linear Mech. 40, 1057-1075, 2005.Lipp, S. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." SIAM J. Control Optim. 35, 562-584, 1997.Mach, E. The Science of Mechanics. Chicago, IL: Open Court, 1893.Phillips, J. P. "Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid--Apple of Discord." Math. Teacher 60, 506-508, 1967.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 326, 1958.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 148-149, 1999.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 60-66 and 385-389, 1991.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 46, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

最速降线问题

请这样引用

Weisstein, Eric W. "最速降线问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BrachistochroneProblem.html

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