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欧拉-拉格朗日微分方程

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欧拉-拉格朗日微分方程是变分法的基本方程。它指出，如果 J 由 积分 形式 定义

J=intf(t,y,y^.)dt,
(1)

其中

y^.=(dy)/(dt),
(2)

那么，如果欧拉-拉格朗日微分方程

(partialf)/(partialy)-d/(dt)((partialf)/(partialy^.))=0
(3)

得到满足，则 J 具有平稳值。

如果时间导数 符号 y^. 被空间导数符号 y_x 替代，则方程变为

(partialf)/(partialy)-d/(dx)(partialf)/(partialy_x)=0.
(4)

欧拉-拉格朗日微分方程的实现形式为EulerEquations[f, u[x], x]，在 Wolfram 语言 包中VariationalMethods` .

在许多物理问题中，f_x （f 关于 x 的偏导数）结果为 0，在这种情况下，对欧拉-拉格朗日微分方程的 manipulation 简化为大大简化的和部分积分的形式，称为 Beltrami 恒等式，

f-y_x(partialf)/(partialy_x)=C.
(5)

对于三个自变量（Arfken 1985, pp. 924-944），方程推广为

(partialf)/(partialu)-partial/(partialx)(partialf)/(partialu_x)-partial/(partialy)(partialf)/(partialu_y)-partial/(partialz)(partialf)/(partialu_z)=0.
(6)

变分法中的问题通常可以通过求解适当的欧拉-拉格朗日方程来解决。

为了推导欧拉-拉格朗日微分方程，考察

deltaJ=deltaintL(q,q^.,t)dt
(7)
=int((partialL)/(partialq)deltaq+(partialL)/(partialq^.)deltaq^.)dt
(8)
=int[(partialL)/(partialq)deltaq+(partialL)/(partialq^.)(d(deltaq))/(dt)]dt,
(9)

因为 deltaq^.=d(deltaq)/dt。现在，使用 分部积分法 对第二项积分

u=(partialL)/(partialq^.) dv
(10)
=d(deltaq)
(11)
du=d/(dt)((partialL)/(partialq^.))dt v=deltaq,
(12)

因此

int(partialL)/(partialq^.)(d(deltaq))/(dt)dt=int(partialL)/(partialq^.)d(deltaq)=[(partialL)/(partialq^.)deltaq]_(t_1)^(t_2)-int_(t_1)^(t_2)(d/(dt)(partialL)/(partialq^.)dt)deltaq.
(13)

结合 (◇) 和 (◇) 得到

deltaJ=[(partialL)/(partialq^.)deltaq]_(t_1)^(t_2)+int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partialq)-d/(dt)(partialL)/(partialq^.))deltaqdt.
(14)

但是我们只改变路径，而不是端点，所以 deltaq(t_1)=deltaq(t_2)=0，(14) 变为

deltaJ=int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partialq)-d/(dt)(partialL)/(partialq^.))deltaqdt.
(15)

我们正在寻找平稳值，使得 deltaJ=0。这些必须对任何小的变化 deltaq 消失，由 (15) 得到，

(partialL)/(partialq)-d/(dt)((partialL)/(partialq^.))=0.
(16)

这就是欧拉-拉格朗日微分方程。

J 的变分也可以用参数 kappa 表示为

deltaJ=int[f(x,y+kappav,y^.+kappav^.)-f(x,y,y^.)]dt
(17)
=kappaI_1+1/2kappa^2I_2+1/6kappa^3I_3+1/(24)kappa^4I_4+...,
(18)

其中

v=deltay
(19)
v^.=deltay^.
(20)

并且一阶、二阶等等变分是

I_1=int(vf_y+v^.f_(y^.))dt
(21)
I_2=int(v^2f_(yy)+2vv^.f_(yy^.)+v^.^2f_(y^.y^.))dt
(22)
I_3=int(v^3f_(yyy)+3v^2v^.f_(yyy^.)+3vv^.^2f_(yy^.y^.)+v^.^3f_(y^.y^.y^.))dt
(23)
I_4=int(v^4f_(yyyy)+4v^3v^.f_(yyyy^.)+6v^2v^.^2f_(yyy^.y^.)+4vv^.^3f_(yy^.y^.y^.)+v^.^4f_(y^.y^.y^.y^.))dt.
(24)

二阶变分可以使用以下方式重新表示

d/(dt)(v^2lambda)=v^2lambda^.+2vv^.lambda,
(25)

因此

I_2+[v^2lambda]_2^1=int_1^2[v^2(f_(yy)+lambda^.)+2vv^.(f_(yy^.)+lambda)+v^.^2f_(y^.y^.)]dt.
(26)

但是

[v^2lambda]_2^1=0.
(27)

现在选择 lambda 使得

f_(y^.y^.)(f_(yy)+lambda^.)=(f_(yy^.)+lambda)^2
(28)

和 z 使得

f_(yy^.)+lambda=-(f_(yy^.))/z(dz)/(dt)
(29)

因此 z 满足

f_(y^.y^.)z^..+f^._(y^.y^.)z^.-(f_(yy)-f^._(yy^.))z=0.
(30)

然后得出结论

I_2=intf_(y^.y^.)(v^.+(f_(yy^.)+lambda)/(f_(y^.y^.))v)^2dt
(31)
=intf_(y^.y^.)(v^.-v/z(dz)/(dt))^2dt.
(32)

另请参阅

Beltrami 恒等式、最速降线问题、变分法、欧拉-拉格朗日导数、泛函导数、变分

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

欧拉-拉格朗日微分方程

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "欧拉-拉格朗日微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Euler-LagrangeDifferentialEquation.html

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