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艾里函数

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艾里函数共有四种变体： Ai(z), Bi(z), Gi(z), 和 Hi(z)。 其中， Ai(z) 和 Bi(z) 是最常见的，而 Gi(z) 和 Hi(z) 则较少见。艾里函数常出现在物理学中，尤其是在光学、量子力学、电磁学和辐射传输中。

Ai(z) 和 Bi(z) 是 整函数。

哈代构建了艾里函数的一种推广。

AiryAiBi

艾里函数 Ai(x) 和 Bi(x) 函数在上面沿实轴绘制。

Ai(z) 和 Bi(z) 函数被定义为以下方程的两个线性独立解

y^('')-yz=0.
(1)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, pp. 446-447; 如上图所示)，写成以下形式

y(z)=AAi(z)+BBi(z),
(2)

其中

Ai(z)=1/(3^(2/3)Gamma(2/3))_0F_1(;2/3;1/9z^3)-z/(3^(1/3)Gamma(1/3))_0F_1(;4/3;1/9z^3)
(3)
Bi(z)=1/(3^(1/6)Gamma(2/3))_0F_1(;2/3;1/9z^3)+(3^(1/6)z)/(Gamma(1/3))_0F_1(;4/3;1/9z^3),
(4)

其中 _0F_1(;a;z) 是一个合流超几何极限函数。这些函数在 Wolfram 语言中实现为AiryAi[z] 和AiryBi[z]。它们的导数实现为AiryAiPrime[z] 和AiryBiPrime[z]。

对于特殊情况 x>0, 这些函数可以写成

Ai(x)=1/3sqrt(x)[I_(-1/3)(2/3x^(3/2))-I_(1/3)(2/3x^(3/2))]
(5)
=1/pisqrt(x/3)K_(1/3)(2/3x^(3/2))
(6)
Bi(x)=sqrt(x/3)[I_(-1/3)(2/3x^(3/2))+I_(1/3)(2/3x^(3/2))],
(7)

其中 I(x) 是一个第一类修正贝塞尔函数，而 K(x) 是一个第二类修正贝塞尔函数。

AiryAiReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

Ai(z) 在复平面中的图示如上所示。

AiryBiReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

类似地， Bi(z) 的图示也显示在上面。

艾里 Ai(z) 函数由积分给出

Ai(z)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(i(zt+t^3/3))dt
(8)

和级数

Ai(z)=1/(3^(2/3)pi)sum_(n=0)^(infty)(Gamma(1/3(n+1)))/(n!)(3^(1/3)z)^nsin[(2(n+1)pi)/3]
(9)
Bi(z)=1/(3^(1/6)pi)sum_(n=0)^(infty)(Gamma(1/3(n+1)))/(n!)(3^(1/3)z)^n|sin[(2(n+1)pi)/3]|
(10)

(Banderier 等人 2000)。

对于 z=0,

Ai(0)=1/(3^(2/3)Gamma(2/3))
(11)
Bi(0)=1/(3^(1/6)Gamma(2/3)),
(12)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数。类似地，

Ai^'(0)=-1/(3^(1/3)Gamma(1/3))
(13)
Bi^'(0)=(3^(1/6))/(Gamma(1/3)).
(14)

Ai(z) 的渐近级数在复平面的不同象限中具有不同的形式，这种现象被称为斯托克斯现象。

AiryGiReIm
AiryGiContours
AiryHiReIm
AiryHiContours

与艾里函数相关的函数被定义为

Gi(z)=1/piint_0^inftysin(1/3t^3+zt)dt
(15)
=1/3Bi(z)+int_0^z[Ai(z)Bi(t)-Ai(t)Bi(z)]dt
(16)
=1/3Bi(z)-(z^2_1F_2(1;4/3,5/3;1/9z^3))/(2pi)
(17)
Hi(z)=1/piint_0^inftyexp(-1/3t^3+zt)dt
(18)
=2/3Bi(z)+int_0^z[Ai(t)Bi(z)-Ai(z)Bi(t)]dt
(19)
=2/3Bi(z)+(_1F_2(1;4/3,5/3;1/9z^3)z^2)/(2pi),
(20)

其中 _pF_q 是一个广义超几何函数。

Watson (1966, pp. 188-190) 给出了艾里函数一个稍微更通用的定义，作为艾里微分方程的解

Phi^('')+/-k^2Phiz=0
(21)

在原点处有限，其中 Phi^' 表示导数 dPhi/dz, k^2=1/3, 并且允许任一符号。将这些解称为 (1/pi)Phi(+/-k^2,z), 则

1/piPhi(+/-1/3;z)=int_0^inftycos(t^3+/-zt)dt
(22)
Phi(1/3;z)=1/3pisqrt(z/3)[J_(-1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))+J_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))]
(23)
Phi(-1/3;z)=1/3pisqrt(z/3)[I_(-1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))-I_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))],
(24)

其中 J(z) 是一个第一类贝塞尔函数。使用恒等式

K_n(z)=pi/2(I_(-n)(z)-I_n(z))/(sin(npi)),
(25)

其中 K(z) 是一个第二类修正贝塞尔函数，第二种情况可以重新表示为

Phi(-1/3;z)=1/3pisqrt(z/3)2/pisin(1/3pi)K_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))
(26)
=pi/3sqrt(z/3)2/pi(sqrt(3))/2K_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2)))
(27)
=1/3sqrt(z)K_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(3/2))).
(28)

另请参阅

Airy-Fock 函数, 艾里函数零点, 艾里 Zeta 函数, 第一类贝塞尔函数, Map-Airy 分布, 第一类修正贝塞尔函数, 第二类修正贝塞尔函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAi/, http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAiPrime/, http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBi/, http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBiPrime/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编.). "Airy Functions." §10.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 446-452, 1972.Banderier, C.; Flajolet, P.; Schaeffer, G.; 和 Soria, M. "Planar Maps and Airy Phenomena." In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, July 9-15, 2000 (编. U. Montanari, J. D. P. Rolim, 和 E. Welzl). Berlin: Springer, pp. 388-402, 2000.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "Bessel Functions of Fractional Order, Airy Functions, Spherical Bessel Functions." §6.7 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 234-245, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A096714 和 A096715 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Airy Functions Ai(x) and Bi(x)." Ch. 56 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 555-562, 1987.Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

艾里函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Airy Functions." 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AiryFunctions.html

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