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Bei

Bei5

bei_nu(z) 函数通过以下方程定义

J_nu(ze^(3pii/4))=ber_nu(z)+ibei_nu(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数，因此

bei_nu(z)=I[J_nu(ze^(3pii/4))],
(2)

其中 I[z] 是虚部。

它在 Wolfram 语言中实现为KelvinBei[nu, z]。

bei_nu(z) 具有级数展开式

bei_nu(x)=(1/2x)^nusum_(k=0)^infty(sin[(3/4nu+1/2k)pi])/(k!Gamma(nu+k+1))(1/4x^2)^k,
(3)

其中 Gamma(x) 是 伽玛函数（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 379 页），可以写成闭合形式：

bei_nu(x)=-1/2ie^(-3piinu/4)x^nu[(-1)^(1/4)x]^(-nu)×[e^(3piinu/2)I_nu((-1)^(1/4)x)-J_nu((-1)^(1/4)x)],
(4)

其中 I_nu(z) 是第一类修正贝塞尔函数。

Bei
BeiReIm
BeiContours

特殊情况 nu=0，通常表示为 bei(z)，对应于

J_0(isqrt(i)z)=ber(z)+ibei(z),
(5)

其中 J_0(x) 是零阶第一类贝塞尔函数。函数 bei_0(z)=bei(z) 具有级数展开式

bei(z)=sum_(n=0)^infty((-1)^n(1/2z)^(2+4n))/([(2n+1)!]^2).
(6)

闭合形式包括

bei_0(z)=1/2i[J_0((-1)^(1/4)z)-I_0((-1)^(1/4)z)]
(7)
=1/2i[I_0((-1)^(3/4)z)-I_0((-1)^(1/4)z)].
(8)

参见

Ber, 贝塞尔函数, Kei, 开尔文函数, Ker

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "开尔文函数." §9.9 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 379-381, 1972.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; 和 Brychkov, Yu. A. "开尔文函数 ber_nu(x), beinu(x), ker_nu(x) 和 kei_nu(x)." §1.7 in 积分与级数，第 3 卷：更多特殊函数。 Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 29-30, 1990.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "开尔文函数." Ch. 55 in 函数图谱。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 543-554, 1987.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Bei

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Bei." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Bei.html

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