主题
Search

泊松积分

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

至少有两种积分被称为泊松积分。第一种也称为贝塞尔第二积分，

J_n(z)=((1/2z)^n)/(Gamma(n+1/2)Gamma(1/2))int_0^picos(zcostheta)sin^(2n)thetadtheta,
(1)

其中 J_n(z) 是第一类贝塞尔函数，Gamma(x) 是伽马函数。它可以从索宁积分导出。当 n=0 时，该积分变为帕塞瓦尔积分。

在复分析中，设 u:U->R 是调和函数 在 邻域 的 闭圆盘 D^_(0,1) 上，那么对于 开圆盘 D(0,1) 中的任何点 z_0，

u(z_0)=1/(2pi)int_0^(2pi)u(e^(ipsi))(1-|z_0|^2)/(|z_0-e^(ipsi)|^2)dpsi.
(2)

在 极坐标 中，在 D^_(0,R) 上，

u(z_0)=1/(2pi)int_0^(2pi)K(r,theta)phi(z_0+re^(itheta))dtheta,
(3)

其中 R=|z_0|，而 K(r,theta) 是泊松核。对于圆，

u(x,y)=1/(2pi)int_0^(2pi)u(acosphi,asinphi)(a^2-R^2)/(a^2+R^2-2aRcos(theta-phi))dphi.
(4)

对于球体，

u(x,y,z)=1/(4pia)intint_(S)u(a^2-R^2)/((a^2+R^2-2aRcostheta)^(3/2))dS,
(5)

其中

costheta=x·xi.
(6)

另请参阅

第一类贝塞尔函数, 圆, 调和函数, 帕塞瓦尔积分, 泊松核, 索宁积分, 球体

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Krantz, S. G. "The Poisson Integral." §7.3.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 92-93, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 373-374, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

泊松积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "Poisson Integral." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PoissonIntegral.html

主题分类