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洛梅尔函数

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有几个函数被称为“洛梅尔函数”。其中一种洛梅尔函数出现在洛梅尔微分方程的解中，并由下式给出

s_(mu,nu)^((1))(z)=(_1F_2(1;1/2(mu-nu+3),1/2(mu+nu+3);-1/4z^2))/((mu+1)^2-nu^2)z^(mu+1)
(1)
s_(mu,nu)^((2))(z)=(_1F_2(1;1/2(mu-nu+3),1/2(mu+nu+3);1/4z^2))/((mu+1)^2-nu^2)z^(mu+1)+(2^(mu+nu-1)Gamma(nu)Gamma(1/2(mu+nu+1))_0F_1(;1-nu;-1/4z^2))/(Gamma(1/2(-mu+nu+1)))z^(-nu)+(2^(mu-nu-1)Gamma(1/2(mu-nu+1))Gamma(-nu)_0F_1(;1+nu;-1/4z^2))/(Gamma(1/2(-mu-nu+1)))z^nu
(2)
=(_1F_2(1;1/2(mu-nu+3),1/2(mu+nu+3);1/4z^2))/((mu+1)^2-nu^2)z^(mu+1)+(2^(mu-1)pi^2csc(pinu))/(Gamma(1/2(-mu-nu+1))Gamma(1/2(-mu+nu+1))[J_(-nu)(z)sec(1/2pi(mu+nu))-J_nu(z)sec(1/2pi(mu-nu))],
(3)

其中 _1F_2 和 _0F_1 分别是广义和合流超几何函数，而 s_(mu,nu)^((1))(z) 通常简记为 s_(mu,nu)(z)。

由 Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, p. 936) 定义的函数 S_(mu,nu)(z) 与 s_(mu,nu)^((2))(z) 相同。

洛梅尔函数 s_(mu,nu)^((1))(z) 和 s_(mu,nu)^((2))(z) 将在未来版本的 Wolfram 语言中实现为LommelS1[m, n, z] 和LommelS2[m, n, z]， 分别为。

s_(mu,nu)(z) 也由下式给出

s_(mu,nu)(z)=1/2pi[Y_nu(z)int_0^zz^muJ_nu(z)dz-J_nu(z)int_0^zz^muY_nu(z)dz],
(4)

其中 J_nu(z) 和 Y_nu(z) 是第一类和第二类贝塞尔函数 (Watson 1966, p. 346; Gradshteyn and Ryzhik 2000, pp. 936-937)。

如果在洛梅尔微分方程的一般形式中，负号位于 z^(mu+1) 项之前，则解为

s_(mu,nu)^((-))=I_nu(z)int_z^(c_1)z^muK_nu(z)dz-J_nu(z)int_(c_2)^zz^muI_nu(z)dz,
(5)

其中 K_nu(z) 和 I_nu(z) 是第一类和第二类修正贝塞尔函数。这些函数与修正洛梅尔函数密切相关。

二元洛梅尔函数与第一类贝塞尔函数相关，并出现在衍射理论 (Chandrasekhar 1960, p. 369) 中，尤其是在米氏散射 (Watson 1966, p. 537) 中，

U_n(w,z)=sum_(m=0)^(infty)(-1)^m(w/z)^(n+2m)J_(n+2m)(z)
(6)
V_n(w,z)=sum_(m=0)^(infty)(-1)^m(w/z)^(-n-2m)J_(-n-2m)(z).
(7)

这些函数最初由洛梅尔 (1884-1886ab) 定义。请注意，（7）中 V_n(w,z) 的定义与现代约定 (Watson 1966, p. 537) 以及 Born 和 Wolf (1989, p. 438) 的定义相差一个因子 (-1)^n。

另请参阅

洛梅尔微分方程, 洛梅尔多项式, 修正洛梅尔函数

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参考文献

Born, M. and Wolf, E. 光学原理：光的传播、干涉和衍射的电磁理论，第 6 版。 New York: Pergamon Press, 1989.Chandrasekhar, S. 辐射传输。 New York: Dover, p. 369, 1960.Gilbert, L. P. "Recherches analytiques sur la diffraction de la lumière." Mém. courmonnées de l'Acad. R. des Sci. de Bruxelles 31, 1-52, 1863.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, pp. 936-937, 2000.Gray, A. and Mathews, G. B. Ch. 14 in 关于贝塞尔函数及其在物理学中应用的专著，第 2 版。 New York: Dover, 1966.Hardy, G. H. "General Theorems in Contour Integration with Some Applications." Quart. J. 32, 369-384, 1901.Hardy, G. H. "On Certain Definite Integrals Whose Values Can be Expressed in Terms of Bessel's Functions." Messenger Math. 38, 129-132, 1909.Lommel, E. C. J. von. "Die Beugungserscheinungen einer kreisrunden Oeffnung und eines kreisrunden Schirmchens theoretisch und experimentell bearbeitet." Abh. der math. phys. Classe der k. b. Akad. der Wiss. (München) 15, 229-328, 1884-1886a.Lommel, E. C. J. von. "Die Beugungserscheinungen geradlinig begrenzter Schirme." Abh. der math. phys. Classe der k. b. Akad. der Wiss. (München) 15, 529-664, 1884-1886b.Mayall, R. H. D. "On the Diffraction Pattern near the Focus of a Telescope." Proc. Cambridge Philos. Soc. 9, 259-269, 1898.Pocklington, H. C. "Growth of a Wave-Group When the Group-Velocity Is Negative." Nature 71, 607-608, 1905.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Lommel Functions s_(mu,nu)(x) and S_(mu,nu)(x)." §1.5 in 积分与级数，第 3 卷：更多特殊函数。 Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 28-29, 1990.Schafheitlin, F. "Beziehungen zwischen dem Integrallogarithmus und den Besselschen Funktionen." Berliner Sitzungsber. 8, 62-67, 1909.Szymanski, P. "On the Integral Representations of the Lommel Functions." Proc. London Math. Soc. 40, 71-82, 1936.Walker, J. 光的分析理论。 London: Cambridge University Press, p. 396, 1904.Watson, G. N. §16.5-16.59 in 关于贝塞尔函数理论的专著，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 537-550, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

洛梅尔函数

请引用为

魏斯stein, Eric W. "洛梅尔函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LommelFunction.html

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