Levi-Civita 联络

在黎曼流形 上，存在一个规范联络，称为 Levi-Civita 联络 (发音为 lē-vē shi-vit-e)，有时也称为黎曼联络或协变导数。作为联络 在切丛上，它为微分向量场、形式或任何其他类型的张量提供了一种明确定义的方法。断言 Levi-Civita 联络存在的定理，它是唯一的无挠联络 在切丛 上，与度量兼容，称为黎曼几何基本定理。

这些性质可以描述如下。设 、 和 为任意向量场， 表示度量。回想一下，向量场通过方向导数作为光滑函数环上的导子代数起作用，并且这种作用扩展到向量场上的作用。符号 是向量场的交换子，。Levi-Civita 联络是无挠的，意思是

(1)

并且与度量相容

(2)

在坐标中，Levi-Civita 联络可以使用第二类克里斯托费尔符号 来描述。特别地，如果 ，则

(3)

或者换句话说，

(4)

作为联络 在切丛 上，它在对偶丛 以及它们所有的模张量积 上诱导一个联络。此外，给定一个子流形 ，它限制在 上，以给出度量限制在 上的 Levi-Civita 联络。

Levi-Civita 联络可以用来描述许多内蕴几何对象。例如，路径 是测地线 当且仅当 ，其中 是路径的切向量。在更一般的路径 上，方程 定义了平行输运，对于沿 的向量场 。第二基本形式 子流形 由 给出，其中 是 的切丛， 是到法丛 的投影。曲率 由 给出。