平行移动

流形 上的平行移动的概念精确地表达了沿着可微曲线 平移向量场 的思想，以获得一个新的向量场 ，该向量场与 平行。更精确地说，设 为具有仿射联络向量丛联络 的光滑流形，设 为从区间 到 的可微曲线，并设 为在 处与 相切的向量，对于某些 。向量场 被称为沿着 的 的平行移动，如果 ，，则 是一个向量场，对于该向量场 。

请注意，上述定义中使用限定词“平行”指的是沿着曲线 的向量场 的平行移动 必然是协变常数，即 满足

(1)

对于所有 ，其中， 表示与 相关的 的唯一协变导数。

微分几何中的一个标准结果是，在上述假设下，平行移动是唯一的。

除了上述定义之外，一些文献以更函数分析的方式定义平行移动。实际上，给定一个区间 和一个点 ，沿着 的 的平行移动 无非是一个线性变换

(2)

将 映射到 。显然，这种变换是可逆的，其逆变换简单地由沿着 的反向部分从 到 的平行移动给出。表达式 也具有额外的益处，因为尽管它是根据 上的仿射联络 内在地定义的，但它也提供了一种机制，通过该机制，人们可以根据曲线 上的一组平行向量场 恢复流形的仿射联络。特别地，如果 并且 ，则

(3)

其中 是由联络 给出的所需向量场，并且其中 。