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第一类克里斯托费尔符号

第一种从 张量 类对象导出的，源于 黎曼度量 g，用于研究度量的几何性质。第一类克里斯托费尔符号有多种表示方法，如 [ij,k]、 [i j; k]、 Gamma_(abc) 或 {ab,c}。它们也被称为连接系数 (Misner et al. 1973, p. 210)。

第一类克里斯托费尔符号的定义为

[ij,k]=g_(mk)Gamma_(ij)^m
(1)
=g_(mk)e^->^m·(partiale^->_i)/(partialq^j)
(2)
=e^->_k·(partiale^->_i)/(partialq^j),
(3)

其中 g_(mk) 是 度量张量，Gamma_(ij)^m 是 第二类克里斯托费尔符号，并且

e^->_i=(partialr^->)/(partialq^i)=h_ie^^_i.
(4)

但是

(partialg_(ij))/(partialq^k)=partial/(partialq^k)(e^->_i·e^->_j)
(5)
=(partiale^->_i)/(partialq^k)·e^->_j+e^->_i·(partiale^->_j)/(partialq^k)
(6)
=[ik,j]+[jk,i],
(7)

所以

[ab,c]=1/2(g_(ac,b)+g_(bc,a)-g_(ab,c)).
(8)

参见

克里斯托费尔符号, 第二类克里斯托费尔符号

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. 物理学家数学方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 160-167, 1985.Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. 引力 San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第一类克里斯托费尔符号

引用为

Weisstein, Eric W. “第一类克里斯托费尔符号。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ChristoffelSymboloftheFirstKind.html

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