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球面三角学

SphericalTrig

设一个球面三角形绘制在半径为R的球体表面上，球心位于点O=(0,0,0)，顶点为A、B和C。因此，从球心到顶点的向量由a=OA^->、b=OB^->和c=OC^->给出。现在，三角形边长的角长（以弧度为单位）为a^'=∠BOC、b^'=∠COA和c^'=∠AOB，而边的实际弧长为a=Ra^'、b=Rb^'和c=Rc^'。 明确地，

a·b=R^2cosc^'=R^2cos(c/R)
(1)
a·c=R^2cosb^'=R^2cos(b/R)
(2)
b·c=R^2cosa^'=R^2cos(a/R).
(3)

现在使用A、B和C来表示顶点本身以及这些顶点处球面三角形的角，因此二面角在平面AOB和AOC之间写为A，二面角在平面BOC和AOB之间写为B，并且二面角在平面BOC和AOC之间写为C。（这些角有时也表示为alpha、beta、gamma；例如，Gellert et al. 1989）

考虑平面AOB和AOC之间的二面角A，可以使用平面法向量的点积计算得出。假设R=1，法向量由顶点向量的叉积给出，因此

(a^^xb^^)·(a^^xc^^)=(|a^^||b^^|sinc)(|a^^||c^^|sinb)cosA
(4)
=sinbsinccosA.
(5)

然而，使用一个众所周知的向量恒等式得到

(a^^xb^^)·(a^^xc^^)=a^^·[b^^x(a^^xc^^)]
(6)
=a^^·[a^^(b^^·c^^)-c^^(a^^·b^^)]
(7)
=(b^^·c^^)-(a^^·c^^)(a^^·b^^)
(8)
=cosa-cosccosb.
(9)

由于这两个表达式必须相等，我们得到恒等式（及其两个类似的公式）

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA
(10)
cosb=cosccosa+sincsinacosB
(11)
cosc=cosacosb+sinasinbcosC,
(12)

称为边余弦定理（Smart 1960，pp. 7-8；Gellert et al. 1989，p. 264；Zwillinger 1995，p. 469）。

恒等式

sinA=(|(a^^xb^^)x(a^^xc^^)|)/(|a^^xb^^||a^^xc^^|)
(13)
=-(|a^^[b^^,a^^,c^^]+b^^[a^^,a^^,c^^]|)/(sinbsinc)
(14)
=([a^^,b^^,c^^])/(sinbsinc),
(15)

其中[a,b,c]是标量三重积，给出

(sinA)/(sina)=([a^^,b^^,c^^])/(sinasinbsinc),
(16)

因此，正弦定理的球面 аналог 可以写成

(sinA)/(sina)=(sinB)/(sinb)=(sinC)/(sinc)=(6Vol(OABC))/(sinasinbsinc)
(17)

（Smart 1960，pp. 9-10；Gellert et al. 1989，p. 265；Zwillinger 1995，p. 469），其中Vol(OABC)是四面体的体积。

球面三角形的角度的余弦定理的 аналог 由下式给出

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa
(18)
cosB=-cosCcosA+sinCsinAcosb
(19)
cosC=-cosAcosB+sinAsinBcosc
(20)

（Gellert et al. 1989，p. 265；Zwillinger 1995，p. 470）。

最后，存在正切定理的球面 аналог，

(tan[1/2(B-C)])/(tan[1/2(B+C)])=(tan[1/2(b-c)])/(tan[1/2(b+c)])
(21)
(tan[1/2(C-A)])/(tan[1/2(C+A)])=(tan[1/2(c-a)])/(tan[1/2(c+a)])
(22)
(tan[1/2(A-B)])/(tan[1/2(A+B)])=(tan[1/2(a-b)])/(tan[1/2(a+b)])
(23)

（Beyer 1987；Gellert et al. 1989；Zwillinger 1995，p. 470）。

其他重要的恒等式由下式给出

cosA=cscbcscc(cosa-cosbcosc),
(24)

（Smart 1960，p. 8），

sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA
(25)

（Smart 1960，p. 10），以及

cosacosC=sinacotb-sinCcotB
(26)

（Smart 1960，p. 12）。

设

s=1/2(a+b+c)
(27)

为半周长，则正弦的半角公式可以写为

sin(1/2A)=sqrt((sin(s-b)sin(s-c))/(sinbsinc))
(28)
sin(1/2B)=sqrt((sin(s-a)sin(s-c))/(sinasinc))
(29)
sin(1/2C)=sqrt((sin(s-a)sin(s-b))/(sinasinb)),
(30)

余弦的半角公式可以写为

cos(1/2A)=sqrt((sinssin(s-a))/(sinbsinc))
(31)
cos(1/2B)=sqrt((sinssin(s-b))/(sinasinc))
(32)
cos(1/2C)=sqrt((sinssin(s-c))/(sinasinb)),
(33)

正切的半角公式可以写为

tan(1/2A)=sqrt((sin(s-b)sin(s-c))/(sinssin(s-a)))=k/(sin(s-a))
(34)
tan(1/2B)=sqrt((sin(s-a)sin(s-c))/(sinssin(s-b)))=k/(sin(s-b))
(35)
tan(1/2C)=sqrt((sin(s-a)sin(s-b))/(sinssin(s-c)))=k/(sin(s-c)),
(36)
(37)

其中

k^2=(sin(s-a)sin(s-b)sin(s-c))/(sins)
(38)

（Smart 1960，pp. 8-9；Gellert et al. 1989，p. 265；Zwillinger 1995，p. 470）。

设

S=1/2(A+B+C)
(39)

为半角和，则半边公式为

tan(1/2a)=Kcos(S-A)
(40)
tan(1/2b)=Kcos(S-B)
(41)
tan(1/2c)=Kcos(S-C),
(42)

其中

K^2=-(cosS)/(cos(S-A)cos(S-B)cos(S-C))
(43)

（Gellert et al. 1989，p. 265；Zwillinger 1995，p. 470）。

边的半正矢公式，其中

havx=1/2(1-cosx)=sin^2(1/2x),
(44)

由下式给出

hava=hav(b-c)+sinbsinchavA
(45)

（Smart 1960，pp. 18-19；Zwillinger 1995，p. 471），而角的半正矢公式由下式给出

havA=(sin(s-b)sin(s-c))/(sinbsinc)
(46)
=(hava-hav(b-c))/(sinbsinc)
(47)
=hav[pi-(B+C)]+sinBsinChava
(48)

（Zwillinger 1995，p. 471）。

高斯公式（也称为 Delambre 类比）为

(sin[1/2(a-b)])/(sin(1/2c))=(sin[1/2(A-B)])/(cos(1/2C))
(49)
(sin[1/2(a+b)])/(sin(1/2c))=(cos[1/2(A-B)])/(sin(1/2C))
(50)
(cos[1/2(a-b)])/(cos(1/2c))=(sin[1/2(A+B)])/(cos(1/2C))
(51)
(cos[1/2(a+b)])/(cos(1/2c))=(cos[1/2(A+B)])/(sin(1/2C))
(52)

（Smart 1960，p. 22；Zwillinger 1995，p. 470）。

纳皮尔类比为

(sin[1/2(A-B)])/(sin[1/2(A+B)])=(tan[1/2(a-b)])/(tan(1/2c))
(53)
(cos[1/2(A-B)])/(cos[1/2(A+B)])=(tan[1/2(a+b)])/(tan(1/2c))
(54)
(sin[1/2(a-b)])/(sin[1/2(a+b)])=(tan[1/2(A-B)])/(cot(1/2C))
(55)
(cos[1/2(a-b)])/(cos[1/2(a+b)])=(tan[1/2(A+B)])/(cot(1/2C))
(56)

（Beyer 1987；Gellert et al. 1989，p. 266；Zwillinger 1995，p. 471）。

另请参阅

角亏, 笛卡尔总角亏, 高斯公式, 吉拉德球面过剩公式, 余弦定理, 正弦定理, 正切定理, L'Huilier 定理, 纳皮尔类比, 立体角, 球面过剩, 球面几何, 球面多边形, 球面三角形

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参考文献

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 131 and 147-150, 1987.Danby, J. M. Fundamentals of Celestial Mechanics, 2nd ed., rev. ed. Richmond, VA: Willmann-Bell, 1988.Gellert, W.; Gottwald, S.; Hellwich, M.; Kästner, H.; and Künstner, H. (Eds.). "Spherical Trigonometry." §12 in VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed. New York: Van Nostrand Reinhold, pp. 261-282, 1989.Green, R. M. Spherical Astronomy. New York: Cambridge University Press, 1985.Smart, W. M. Text-Book on Spherical Astronomy, 6th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.Zwillinger, D. (Ed.). "Spherical Geometry and Trigonometry." §6.4 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 468-471, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

球面三角学

请引用为

Weisstein, Eric W. "球面三角学。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalTrigonometry.html

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