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标量三重积

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三个向量 A, B, 和 C 的标量三重积记为 [A,B,C] 并定义为

[A,B,C]=A·(BxC)
(1)
=B·(CxA)
(2)
=C·(AxB)
(3)
=det(ABC)
(4)
=|A_1 A_2 A_3; B_1 B_2 B_3; C_1 C_2 C_3|
(5)

其中 A·B 表示点积，AxB 表示叉积，det(A)=|A| 表示行列式，且 A_i, B_i, 和 C_i 分别是向量 A, B, 和 C 的分量。标量三重积是赝标量（即，它在反演下符号反转）。标量三重积也可以用排列符号 epsilon_(ijk) 表示为

A·(BxC)=epsilon_(ijk)A^iB^jC^k,
(6)

其中 爱因斯坦求和约定 已被用于对重复索引求和。

涉及标量三重积的其他恒等式有

A·(BxC)=B·(CxA)=C·(AxB)
(7)
[A,B,C]D=[D,B,C]A+[A,D,C]B+[A,B,D]C
(8)
[q,q^',q^('')][r,r^',r^('')]=|q·r q·r^' q·r^(''); q^'·r q^'·r^' q^'·r^(''); q^('')·r q^('')·r^' q^('')·r^('')|.
(9)

由向量 A, B, 和 C 给出的边长的平行六面体的体积由标量三重积的绝对值给出

V_(parallelepiped)=|A·(BxC)|.
(10)

另请参阅

叉积, 点积, 平行六面体, 向量乘法, 向量三重积

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参考文献

Arfken, G. "Triple Scalar Product, Triple Vector Product." 第 1.5 节 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 26-33, 1985.Aris, R. "Triple Scalar Product." 第 2.34 节 in Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. New York: Dover, pp.  18-19, 1989.Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, p. 13, 1981.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Triple Scalar Product." 第 2.091 节 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 74-75, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 11, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

标量三重积

引用为

Weisstein, Eric W. "Scalar Triple Product." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ScalarTripleProduct.html

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