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黎曼 Zeta 函数的零点

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黎曼 zeta 函数 zeta(s) 的零点分为两种类型。所谓的“平凡零点”出现在所有负偶数整数 s=-2, -4, -6, ...，而“非平凡零点”出现在满足以下条件的 t 的某些值处

s=sigma+it
(1)

对于 "临界带" 0<sigma<1 中的 s。一般来说，zeta(s) 的非平凡零点记为 rho，且当 t>0 时的第 n 个非平凡零点通常记为 rho_n (Brent 1979; Edwards 2001, p. 43)，其对应的 t 值称为 t_n。

维纳 (Wiener) (1951) 表明，素数定理 实际上等价于 zeta(s) 在 sigma=1 上没有零点的论断 (Hardy 1999, p. 34; Havil 2003, p. 195)。黎曼猜想 断言，zeta(s) 的非平凡零点都具有 实部 sigma=R[s]=1/2，这条线被称为“临界线”。已知对于前 10^(13) 个零点，这是成立的。

Wolfram Riemann Zeta Zeros Poster

Wolfram Research (1995) 制作了一张引人入胜的海报，绘制了 临界线 上 黎曼 zeta 函数 的零点，并附有相关历史信息的注释，如上图所示。

RiemannZetaZerosReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

上面的图表显示了在复平面中绘制的 zeta(s) 的实部和虚部，以及 zeta(z) 的复模。可以看出，在右半平面，该函数相当平坦，但有大量的水平脊。非平凡零点恰好位于这些脊上。

RiemannZetaZerosContoursReIm

通过绘制零实部（红色）和虚部（蓝色）的轮廓，可以稍微更容易地看到复零点的位置，如上图所示。零点（用黑点表示）出现在曲线相交的地方。

RiemannZetaSurfaces

上面的图形通过绘制 |zeta(z)| （其中零点是凹陷）和 1/|zeta(z)| （其中零点是峰值）突出了 复平面 中的零点。

RiemannZetaAbs

上面的图表显示了当 t 在 0 到 60 之间时 |zeta(1/2+it)| 的值。可以看出，前几个非平凡零点出现在下表给出的值处 (Wagon 1991, pp. 361-362 和 367-368; Havil 2003, p. 196; Odlyzko)，其中相应的负值也是根。最接近这些值的整数是 14, 21, 25, 30, 33, 38, 41, 43, 48, 50, ... (OEIS A002410)。小于 10, 10^2, 10^3, ... 的非平凡零点的数量是 0, 29, 649, 10142, 138069, 1747146, ... (OEIS A072080; Odlyzko)。

nOEISt_n
1A05830314.134725
221.022040
325.010858
430.424876
532.935062
637.586178
XiFunctionRoots

黎曼定义的所谓 xi 函数 xi(z) 与 zeta(z) 的非平凡零点具有完全相同的零点，并且 xi(z) 是整函数，xi(1/2+it) 是纯实数，因此更容易定位。

ZetaGrid 是一个分布式计算项目，旨在计算尽可能多的零点。截至 2005 年 2 月 18 日，它已达到 10299 亿个零点。Gourdon (2004) 使用 Odlyzko 和 Schönhage 的算法计算了前 10×10^(12) 个零点 (Pegg 2004, Pegg 和 Weisstein 2004)。下表列出了计算出的零点数量的历史基准 (Gourdon 2004)。

年份n作者
190315J. P. Gram
191479R. J. Backlund
1925138J. I. Hutchinson
19351041E. C. Titchmarsh
19531104A. M. Turing
195615000D. H. Lehmer
195625000D. H. Lehmer
195835337N. A. Meller
1966250000R. S. Lehman
19683500000J. B. Rosser, J. M. Yohe, L. Schoenfeld
197740000000R. P. Brent
197981000001R. P. Brent
1982200000001R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983300000001J. van de Lune, H. J. J. te Riele
19861500000001J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
200110000000000J. van de Lune (未发表)
2004900000000000S. Wedeniwski
200410000000000000X. Gourdon 和 P. Demichel

数值证据表明，对应于非平凡零点的所有 t 值都是无理数（例如，Havil 2003, p. 195; Derbyshire 2004, p. 384）。

目前尚不知道阶数大于 1 的零点。虽然此类零点的存在不会反驳黎曼猜想，但它会给许多当前的计算技术带来严重问题 (Derbyshire 2004, p. 385)。

一些非平凡零点非常接近，这种性质被称为 莱默现象。

黎曼 zeta 函数 可以根据其非平凡零点 rho 分解为 Hadamard 乘积

zeta(s)=(e^([ln(2pi)-1-gamma/2]s))/(2(s-1)Gamma(1+1/2s))product_(rho)(1-s/rho)e^(s/rho)
(2)

(Titchmarsh 1987, Voros 1987)。

设 rho_k 表示 zeta(s) 的第 k 个非平凡零点，并将这些零点的负整数次幂之和写为

Z(n)=sum_(k)rho_k^(-n)
(3)

(Lehmer 1988, Keiper 1992, Finch 2003, p. 168)，有时也表示为 sigma_n (例如，Finch 2003, p. 168)。但是根据函数方程，非平凡零点成对出现，如 rho 和 1-rho，因此如果虚部为正的零点写为 sigma_k+it_k，则和变为

Z(n)=sum_(k)[(sigma_k+it_k)^(-n)+(1-sigma_k-it_k)^(-n)].
(4)

这些和可以解析计算，前几个是

Z(1)=1/2[2+gamma-ln(4pi)]
(5)
Z(2)=1+gamma^2-1/8pi^2+2gamma_1
(6)
Z(3)=1+gamma^3+3gammagamma_1+3/2gamma_2-7/8zeta(3)
(7)
Z(4)=1+gamma^4-1/(96)pi^4+4gamma^2gamma_1+2gamma_1^2+2gammagamma_2+2/3gamma_3
(8)
Z(5)=1+gamma^5+5gamma^3gamma_1+5/2gamma^2gamma_2+5/2gamma_1gamma_2+5gammagamma_1^2+5/6gammagamma_3+5/(24)gamma_4-(31)/(32)zeta(5)
(9)
Z(6)=1+gamma^6-1/(960)pi^6+6gamma^4gamma_1+2gamma_1^3+3gamma^3gamma_2+3/4gamma_2^2+gamma_1gamma_3+9gamma^2gamma_1^2+gamma^2gamma_3+6gammagamma_1gamma_2+1/4gammagamma_4+1/(20)gamma_5,
(10)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，gamma_i 是 斯蒂尔杰斯常数，zeta(n) 是 黎曼 zeta 函数，zeta(3) 是 阿佩里常数。这些值也可以用 Li 常数表示 (Bombieri 和 Lagarias 1999)。

情况是

Z(1)=0.0230957...
(11)

(OEIS A074760; Edwards 2001, p. 160) 是经典的，黎曼知道这一点，并在计算 zeta(s) 的根时使用了它 (Davenport 1980, pp. 83-84; Edwards 2001, pp. 67 和 159)。它也等于 Li 判据中的常数 lambda_1。

假设 黎曼猜想 是正确的（因此 sigma=1/2），方程 (◇) 可以用简单的形式写出 n 的前几个值

Z(1)=sum_(k)4/(1+4t_k^2)
(12)
Z(2)=-sum_(k)(8(4t_k^2-1))/((4t_k^2+1)^2)
(13)
Z(3)=-sum_(k)(16(12t_k^2-1))/((4t_k^2+1)^3)
(14)
Z(4)=-sum_(k)(32(16t_k^4-24t_k^2+1))/((4t_k^2+1)^4)
(15)

等等。

另请参阅

临界线, 临界带, 显式公式, 格拉姆定律, 格拉姆点, Hadamard 乘积, 哈代定理, 希尔伯特-波利亚猜想, 朗道公式, 莱默现象, 李氏判据, 曼戈尔特函数, 蒙哥马利-奥德利兹科定律, 蒙哥马利对相关猜想, 黎曼猜想, 黎曼-冯·曼戈尔特公式, 黎曼 Zeta 函数, Xi 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bombieri, E. and Lagarias, J. C. "Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 77, 274-287, 1999.Brent, R. P. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip." Math. Comput. 33, 1361-1372, 1979.Brent, R. P.; van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; and Winter, D. T. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. II." Math. Comput. 39, 681-688, 1982.Davenport, H. 乘法数论，第二版 New York: Springer-Verlag, 1980.Derbyshire, J. 素数 Obsession：伯恩哈德·黎曼与数学中最伟大的未解问题 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. 黎曼 Zeta 函数 New York: Dover, 2001.Farmer, D. W. "Counting Distinct Zeros of the Riemann Zeta-Function." Electronic J. Combinatorics 2, No. 1, R1, 1-5, 1995. http://www.combinatorics.org/Volume_2/Abstracts/v2i1r1.html.Finch, S. R. 数学常数 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 168, 2003.Gourdon, X. "Computation of Zeros of the Zeta Function." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html.Gourdon, X. "The 10^(13) First Zeros of the Riemann Zeta Function, and Zeros Computation at Very Large Height." Oct. 24, 2004. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf.Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他的生活和工作提出的主题的十二讲座，第三版 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. "The Zeros of Zeta." §16.6 in Gamma：探索欧拉常数 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 193-196, 2003.Hayes, B. "The Spectrum of Riemannium." Amer. Sci. 91, 296-300, 2003.Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.Keiper, J. B. "Power Series Expansions of Riemann's xi Function." Math. Comput. 58, 765-773, 1992.Landau, E. "Über die Nullstellen der Zetafunction." Math. Ann. 71, 548-564, 1911.Lehmer, D. H. "The Sum of Like Powers of the Zeros of the Riemann Zeta Function." Math. Comput. 50, 265-273, 1988.Odlyzko, A. M. "The 10^(20)th Zero of the Riemann Zeta Function and 70 Million of Its Neighbors." Preprint.Odlyzko, A. "Tables of Zeros of the Riemann Zeta Function." http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/.Pegg, E. Jr. "Math Games: Ten Trillion Zeta Zeros." Oct. 18, 2004. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html.Pegg, E. Jr. and Weisstein, E. W. "Seven Mathematical Tidbits." MathWorld Headline News. Nov. 8, 2004. https://mathworld.net.cn/news/2004-11-08/seventidbits/#3.Sabbagh, K. 黎曼博士的零点：寻找解决数学中最伟大问题的百万美元方案 Atlantic Books, 2002.Sloane, N. J. A. Sequences A002410/M4924, A058303, A072080, and A074760 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Titchmarsh, E. C. 黎曼 Zeta 函数理论，第二版 New York: Clarendon Press, 1987.Tyagi, S. "Double Exponential Method for Riemann Zeta, Lerch and Dirichlet L-Functions." https://arxiv.org/abs/2203.02509. 7 Mar 2022.Voros, A. "Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function." Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.Wagon, S. "The Evidence: Where Are the Zeros of Zeta of s?" Math. Intel. 8, 57-62, 1986.Wagon, S. Mathematica 实践 New York: W. H. Freeman, 1991.Wiener, N. §19 et seq. in 傅里叶积分及其某些应用 New York: Dover, 1951.Wolfram Research. "The Riemann Zeta Function on the Critical Line Plotted by Mathematica." 1995. https://mathworld.net.cn/pdf/posters/Zeta.pdf.ZetaGrid. http://www.zetagrid.net/.

在 Wolfram|Alpha 中引用

黎曼 Zeta 函数的零点

请引用为

Weisstein, Eric W. “黎曼 Zeta 函数的零点。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RiemannZetaFunctionZeros.html

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