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格拉姆点

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设 theta(t) 为黎曼-西格尔函数。满足以下条件的唯一值 g_n

theta(g_n)=pin
(1)

其中 n=0, 1, ... 被称为格拉姆点 (Edwards 2001, pp. 125-126)。

格拉姆点 g_n 的一个极佳近似可以通过使用 theta(t) 的渐近展开式的前几项并反演得到

g_n approx 2piexp[1+W((8n+1)/(8e))],
(2)

其中 W(z) 是 Lambert W 函数。此近似对于 n=0 给出 2.2×10^(-3) 的误差，到 n=10 减小到 3.5×10^(-4)。

下表给出了前几个格拉姆点。

nOEISg_n
0A11485717.8455995404
1A11485823.1702827012
227.6701822178
331.7179799547
435.4671842971
538.9992099640
642.3635503920
745.5930289815
848.7107766217
951.7338428133
1054.6752374468

最接近这些点的整数是 18, 23, 28, 32, 35, 39, 42, 46, 49, 52, 55, 58, ... (OEIS A002505)。

存在一个唯一的点，其中 g_n=n, 由方程的解给出

theta(n^*)=pin^*
(3)

并具有数值

n^*=9146.69819317...
(4)

(OEIS A114893)。

通常情况下 R[zeta(1/2+ig_n)]=(-1)^nZ(g_n)>0。不成立的 n 值是 n=126, 134, 195, 211, 232, 254, 288, ... (OEIS A114856)，其中前两个由 Hutchinson (1925) 发现。

另请参阅

格拉姆定律, 黎曼-西格尔函数, 黎曼 Zeta 函数

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参考文献

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.Haselgrove, C. B. and Miller, J. C. P. "Tables of the Riemann Zeta Function." Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 58, 1960.Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.Sloane, N. J. A. Sequences A002505/M5052, A114856, A114857, A114858, and A114893 Sloane, N. J. A. Sequences

在 Wolfram|Alpha 中被引用

格拉姆点

请引用为

Weisstein, Eric W. “格拉姆点。” 来自 MathWorld--Wolfram Web Resource。 https://mathworld.net.cn/GramPoint.html

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