朗道公式

朗道 (1911) 证明了对于任何固定的 ,

当 时，其中求和遍布非平凡 黎曼 zeta 函数零点，并且 是 Mangoldt 函数。这里，“固定的 ” 意味着 中隐含的常数取决于 ，并且特别地，当 接近素数或素数幂时，常数变得很大。

朗道公式大致是 显式公式 的导数。

朗道公式非常非凡。如果 不是 素数 或 素数幂，则 且总和以常数乘以 增长。但是如果 是 素数 或 素数幂，则 且总和增长得更快，像常数乘以 。这展示了素数和 s 之间惊人的联系；不知何故，零点“识别”出何时 是素数并导致对总和的巨大贡献。