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李氏判据

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李氏判据指出，黎曼猜想 等价于以下陈述，对于

lambda_n=1/((n-1)!)(d^n)/(ds^n)[s^(n-1)lnxi(s)]|_(s=1),
(1)

其中 xi(s) 是 xi函数，lambda_n>=0 对于每个正整数 n (Li 1997)。李氏常数可以写成如下替代形式

lambda_n=((-1)^n)/((n-1)!)(d^n)/(ds^n)[(1-s)^(n-1)lnxi(s)]_(s=0)
(2)

(Coffey 2004)。

lambda_n 也可以写成非平凡零点 rho 的和，zeta(s) 如下：

lambda_n=sum_(rho)[1-(1-1/rho)^n]
(3)

(Li 1997, Coffey 2004)。

用 lambda_n 表示 xi(s) 的递推关系式由下式给出

lambda_(n+1)=lambda_n+1/(n!)[(d^n)/(ds^n)s^n(xi^'(s))/(xi(s))]_(s=1)
(4)

(Coffey 2004)。

常数 lambda_n 的前几个显式值为

lambda_1=1+1/2gamma-ln2-1/2lnpi
(5)
lambda_2=1+gamma-gamma^2+1/8pi^2-2gamma_1-2ln2-lnpi
(6)
lambda_3=1+gamma-gamma^2-2gamma_1+1/8pi^2-2ln2-lnpi,
(7)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，gamma_k 是 Stieltjes 常数。lambda_n 可以使用 Coffey (2004) 给出的递推公式有效地以闭合形式计算，即

lambda_n=1-1/2n(gamma+lnpi+2ln2)-sum_(m=1)^n(n; m)eta_(m-1)+sum_(m-2)^n(-1)^m(n; m)(1-2^(-m))zeta(m),
(8)

其中

eta_n=(-1)^(n-1)[(n+1)/(n!)gamma_n+sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k-1))/((n-k-1)!)eta_kgamma_(n-k-1)]
(9)

并且 eta_0=-gamma。

nlambda_nOEIS
10.0230957...A074760
20.0923457...A104539
30.2076389...A104540
40.3687904...A104541
60.5755427...A104542
71.1244601...A306340
81.4657556...A306341

Edwards 2001 (p. 160) 给出了 lambda_1 的数值，Coffey (2004) 表格化了高达 n=25 的六位数值。

LiCriterionLambdas

虽然 lambda_n 的值高达 n approx 10 可以用抛物线很好地拟合

lambda_n∼0.023n^2
(10)

（左图），较大的项显示出与抛物线拟合明显的偏差（右图）。

参见

黎曼猜想, 黎曼Zeta函数零点, Xi函数

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参考文献

Bombieri, E. and Lagarias, J. C. "Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 77, 274-287, 1999.Coffey, M. W. "Relations and Positivity Results for Derivatives of the Riemann xi Function." J. Comput. Appl. Math. 166, 525-534, 2004.Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Keiper, J. B. "Power Series Expansions of Riemann's xi Function." Math. Comput. 58, 765-773, 1992.Li, X.-J. "The Positivity of a Sequence of Numbers and the Riemann Hypothesis." J. Number Th. 65, 325-333, 1997.Sloane, N. J. A. Sequences A074760, A104539, A104540, A104541, and A104542 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中引用

李氏判据

请引用为

Weisstein, Eric W. "李氏判据。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LisCriterion.html

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