芒戈尔特函数

芒戈尔特函数是由以下定义的函数

(1)

有时也称为 lambda 函数。 具有显式表示

(2)

其中 表示 最小公倍数。 上图绘制了 对于 , 2, ... 的前几个值，它们是 1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, ... (OEIS A014963)。

芒戈尔特函数在 Wolfram 语言中实现为MangoldtLambda[n]。

它满足除数和

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其中 是 莫比乌斯函数 (Hardy and Wright 1979, p. 254)。

芒戈尔特函数与黎曼 zeta 函数 相关，关系如下

(7)

其中 (Hardy 1999, p. 28; Krantz 1999, p. 161; Edwards 2001, p. 50)。

总和芒戈尔特函数（如上图所示）定义为

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其中 是芒戈尔特函数，也称为第二切比雪夫函数 (Edwards 2001, p. 51)。 由所谓的显式公式给出

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对于 且 不是素数或素数幂 (Edwards 2001, pp. 49, 51, 和 53)，且求和是对黎曼 zeta 函数 的所有非平凡零点 进行的，即那些在临界带中的零点，使得 (Montgomery 2001)，并解释为

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瓦莱-普桑版本的素数定理指出

(11)

对于某个 (Davenport 1980, Vardi 1991)。 素数定理等价于以下陈述

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当 时 (Dusart 1999)。

冯·芒戈尔特在黎曼论文发表 30 年后证明了他的公式，黎曼的论文包含一个相关的公式，启发了冯·芒戈尔特的公式。冯·芒戈尔特的公式随后被用于证明等价形式的素数定理

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黎曼猜想等价于

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(Davenport 1980, p. 114; Vardi 1991)。

Vardi (1991, p. 155) 还给出了有趣的公式

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其中 是向下取整函数， 是阶乘。