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Riemann-von Mangoldt 公式

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RiemannVonMangoldtFormula

在他 1859 年的著名论文中，黎曼指出 N(T) 个 黎曼 zeta 函数零点 sigma+it，其中 0<t<=T，渐近地由下式给出

N(T)=T/(2pi)ln(T/(2pi))-T/(2pi)+O(lnT)
(1)

当 T->infty 时 (Edwards 2001, p. 19; Havil 2003, p. 203; Derbyshire 2004, p. 258)。这可以更紧凑地写作

N(T)=T/(2pi)ln(T/(2pie))+O(lnT).
(2)

这个结果在 1905 年由 von Mangoldt 证明，因此被称为 Riemann-von Mangoldt 公式。

由此得出，高度为 T 的零点密度 D(T)=N(T+1)-N(T) 为

D(T)∼(lnT)/(2pi),
(3)

其中，通常情况下，渐近符号 f(n)∼g(n) 意味着比率 f(n)/g(n) 趋于 1，当 n->infty 时。

这个结果的另一个推论是，上半平面中连续 zeta 零点的虚部 0<t_1<=t_2<=t_3<=... 满足

t_n∼(2pin)/(lnn).
(4)

因此，t_n 和 t_(n+1) 之间的平均间距 d_n 为

d_n∼(2pi)/(lnn),
(5)

当 n->infty 时，它趋于零。

另请参阅

Landau 公式, Riemann-Siegel 公式, 黎曼 Zeta 函数, 黎曼 Zeta 函数零点

此条目由 Jonathan Sondow 贡献 (作者链接)

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参考文献

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, p. 217, 2004.Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 138, 2003.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Ivic, A. A. The Riemann Zeta-Function. New York: Wiley, pp. 17-20, 1985.Riemann, G. F. B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859.Reprinted in Das Kontinuum und Andere Monographen (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972.

在 上引用

Riemann-von Mangoldt 公式

请引用为

Sondow, Jonathan. "Riemann-von Mangoldt 公式。" 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/Riemann-vonMangoldtFormula.html

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