Julia集

设 为一个 有理函数

(1)

其中 , 是 黎曼球面 , 并且 和 是 多项式，没有公因数。“填充” Julia 集 是点的集合 ，这些点在重复应用 后不会趋于无穷（对应于一个 奇异吸引子）。真 Julia 集 是填充集的边界（“例外点”的集合）。Julia 集有两种类型：连通集（Fatou 集）和 康托集（Fatou 尘埃）。

二次 Julia 集由二次映射生成

(2)

对于固定的 。对于几乎每个 ，这种变换生成一个 分形。上面显示了 的各种值的示例。对于 (Dufner et al. 1998, pp. 224-226) 和 (Dufner et al. 1998, pp. 125-126)，结果对象不是分形，尽管似乎不知道这两个值是否是唯一的例外值。

在 曼德勃罗集 边界上的特殊情况 被称为 树枝状分形（左上图）， 被称为 杜阿迪兔子分形（右上图）， 被称为 圣马可分形（左下图），而 是 西格尔圆盘分形（右下图）。

二次 Julia 集的方程是一个 共形映射，因此角度被保留。设 为 Julia 集，则 使 不变。如果点 在 上，则其所有迭代都在 上。该变换具有二值逆。如果 且 从 0 开始，则该映射等价于 逻辑斯蒂映射。使 连通的所有点的集合被称为 曼德勃罗集。

对于一个 Julia 集 ，当 时，容量维数 为

(3)

对于小的 ， 也是一个 若尔当曲线，尽管它的点不是 可计算的。