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商差表

QuotientDifferenceTable

商差表是一个三角形数组，通过绘制一系列水平行中的n个数字并在每个数字上方放置 1 来构建。然后在 1 的行首和行尾放置额外的“1”，然后通过查看相邻数字组来确定原始行下方行的值

N ; W X E; S
(1)

并计算

S=(X^2-EW)/N
(2)

对于落在由从第一个和最后一个“1”延伸的对角线形成的三角形内的元素，如上图所示。

商差表中的 0 形成正方形“窗口”，这些窗口以等比数列为边界。当且仅当起始序列由线性递推关系定义时，商差表最终会产生一行 0。当且仅当起始序列由线性递推关系定义时，商差表最终会产生一行 0。例如，继续上面由斐波那契数生成的示例

1 1 1 1 1 1 1; 1 1 2 3 5 ; -1 1 -1 ; 0
(3)
1 1 1 1 1 1 1 1; 1 1 2 3 5 8 ; -1 1 -1 1 ; 0 0
(4)
1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1 1 2 3 5 8 13 ; -1 1 -1 1 -1 ; 0 0 0 ; 0
(5)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1 1 2 3 5 8 13 21 ; -1 1 -1 1 -1 1 ; 0 0 0 0 ; 0 0
(6)

可以看出，出现了一行 0（并且进一步可以看出，尝试扩展该表将导致被零除）。这验证了斐波那契数满足线性递推关系，实际上，该关系由著名的公式给出

F_n=F_(n-1)+F_(n-2).
(7)

然而，为卡塔兰数、莫茨金数等构造商差表不会导致一行零，这表明这些数字不能使用线性递推关系生成。

参见

差分表, 有限差分

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York:Springer-Verlag, pp. 85-89, 1996.Getu, S.; Shapiro, L. W.; Woan, W. J.; and Woodson, L. C. "How to Guess a Generating Function." SIAM J. Disc. Math. 5, 497-499, 1992.Gragg, W. B. "The Padé Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis." SIAM Rev. 14, 1-16, 1972.Henrici, P. "Quotient-Difference Algorithms." In Mathematical Methods for Digital Computers, Vol. 2 (Ed. A. Ralston and H. S. Wilf). New York: Wiley, pp. 35-62, 1967.Jones, W. B. and Thron, W. J. Continued Fractions: Analytical Theory and Applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Lidl, R. and Niederreiter, H. §6.6 in Introduction to Finite Fields and Their Applications, rev. ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1994.Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, pp. 15-17, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

商差表

引用为

Weisstein, Eric W. "商差表。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Quotient-DifferenceTable.html

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