射影平面

射影平面，有时被称为扭曲球面 (Henle 1994, p. 110)，是一个无边界的曲面，它是由通常的平面通过添加一条无穷远线得到的。正如射影几何中的直线包含一个单一的无穷远点，在该点端点相遇一样，射影几何中的平面包含一条单一的无穷远线，在该线上平面的边缘相遇。射影平面可以通过将矩形的相对边对粘合在一起，并给两对边都加上半扭曲来构造。它是一个单侧曲面，但如果不自相交，就无法在三维空间中实现。

阶数为 的有限射影平面正式定义为一个包含 个点的集合，具有以下性质：

1. 任意两个点确定一条直线，

2. 任意两条直线确定一个点，

3. 每个点上有 条直线，并且

4. 每条直线包含 个点。

（请注意，其中一些性质是冗余的。）因此，射影平面是一个对称 (, , 1) 区组设计。阶数为 的仿射平面存在 当且仅当 阶数为 的射影平面存在。

当阶数 是素数的幂时，即 ，其中 时，有限射影平面存在。据推测，这些是唯一可能的射影平面，但证明这一点仍然是组合数学中最重要且未解决的问题之一。前几个是素数幂的阶数是 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, ... (OEIS A000961)。前几个不是这种形式的阶数是 6, 10, 12, 14, 15, ... (OEIS A024619)。

最小的有限射影平面的阶数为 ，由被称为法诺平面的 构型 组成，如上图所示。

著名的 Bruck-Ryser-Chowla 定理指出，如果阶数为 的射影平面存在，且 或 2 (mod 4)，则 是两个平方数之和。这排除了 。通过使用大量计算机计算加上一些数学方法，在拉姆问题中得到否定答案，已经证明不存在阶数为 10 的有限射影平面 (Lam 1991)。阶数为 12 的射影平面的状态仍然是开放的。

阶数为 2 的射影平面，也称为法诺平面，表示为 PG(2, 2)。它具有关联矩阵

每行和每列包含 3 个 1，并且任何一对行/列都有一个共同的 1。

射影平面的欧拉示性数为 1，因此希伍德猜想表明，其上的任何区域集合都可以仅使用六种颜色着色 (Saaty 1986)。彼得森图提供了射影平面的 6 色着色。