法诺平面 -- 来自 Wolfram MathWorld

法诺平面

法诺平面是由二维有限射影平面和 2 阶伽罗瓦域构成的构型。它在实数或有理数域上是不可实现的 (Gropp 1997)。上面展示了法诺平面的关联结构。

它是一个区组设计，参数为 , , , , 和，是施泰纳三元系，以及唯一的构型。法诺平面的 Levi 图是希伍德图。

法诺平面的连通性对应于 2 阶二维阿波罗尼奥斯网络。

法诺平面也解决了特兰西瓦尼亚彩票问题，该彩票从整数 1-14 中选取三个数字。使用两个法诺平面，我们可以保证仅玩 14 次就能匹配两个数字，方法如下。用整数 1-7 标记一个法诺平面的图顶点，另一个平面用整数 8-14 标记。要玩的 14 张彩票是两个平面的 14 条线。那么，如果是中奖彩票，则中至少有两个数字在区间 [1, 7] 或 [8, 14] 内。这两个数字在相应平面的恰好一条线上，因此我们的一张彩票会匹配它们。

Lehmers (1974) 发现了法诺平面在通过二次型分解整数方面的应用。这里，使用的形式三元组构成七个点上的射影几何的线，其平面是对应于模 24 的残差类对的法诺构型 (Lehmer and Lehmer 1974, Guy 1975, Shanks 1985)。法诺平面的自同构群（保关联双射）是群阶为 168 的单群 (Klein 1870)。

参见

构型, 设计, 法诺几何, 希伍德图, 射影平面, 施泰纳三元系, 特兰西瓦尼亚彩票

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参考文献

Coxeter, H. S. M. "Self-Dual Configurations and Regular Graphs." Bull. Amer. Math. Soc. 56, 413-455, 1950.Gropp, H. "Configurations and Their Realization." Discr. Math. 174, 137-151, 1997.Grünbaum, B. 点的构型与线。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 67-68, 2009.Guy, R. "How to Factor a Number." Proc. Fifth Manitoba Conf. on Numerical Math., 49-89, 1975.Klein, F. "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades." Math. Ann. 2, 198-226, 1870.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "A New Factorization Technique Using Quadratic Forms." Math. Comput. 28, 625-635, 1974.Pisanski, T. and Randić, M. "Bridges between Geometry and Graph Theory." In 几何在工作中：展示几何应用论文集 (Ed. C. A. Gorini). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 174-194, 2000.Shanks, D. 数论中已解决和未解决的问题，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 202 和 238, 1985.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何学词典。 London: Penguin, p. 72, 1991.

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Weisstein, Eric W. "法诺平面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FanoPlane.html

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