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区组设计

一个关联系统 (v, k, lambda, r, b) ，其中一个 X 包含 v 个点的集合被划分为一个 A 包含 b 个子集（区组）的族，使得任意两点确定 lambda 个区组，每个区组包含 k 个点，并且每个点包含在 r 个不同的区组中。通常也要求 k<v，这就是术语“不完全”的来源，该术语最常在区组设计中遇到，即平衡不完全区组设计 (BIBD)。

这五个参数不是独立的，而是满足以下两个关系式

vr=bk
(1)
lambda(v-1)=r(k-1).
(2)

因此，BIBD 通常简写为 (v, k, lambda)，因为 b 和 r 可以用 v, k 和 lambda 表示为

b=(v(v-1)lambda)/(k(k-1))
(3)
r=(lambda(v-1))/(k-1).
(4)

如果 b=v （或等价地，r=k），则 BIBD 称为对称的。

令 X={x_i}_(i=1)^v 和 A={A_j}_(j=1)^b，则 BIBD 的关联矩阵由 v×b 矩阵 M 定义，其中

m_(ij)={1 if x_i in A_j; 0 otherwise.
(5)

该矩阵满足方程

MM^(T)=(r-lambda)I+lambdaJ,
(6)

其中 I 是一个 v×v 单位矩阵，J 是 v×v 单位矩阵 (Dinitz 和 Stinson 1992)。

BIBD 的示例如下表所示。

区组设计(v, k, lambda)
仿射平面(n^2, n, 1)
法诺平面(7, 3, 1)
哈达玛设计对称 (4n+3, 2n+1, n)
射影平面对称 (n^2+n+1, n+1, 1)
斯坦纳三元系(v, 3, 1)
一致设计(q^3+1, q+1, 1)

另请参阅

仿射平面, 设计, 法诺平面, 哈达玛设计, 平行类, 射影平面, 分解, 可分解, 斯坦纳三元系, 对称区组设计, 一致设计

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参考文献

Dinitz, J. H. 和 Stinson, D. R. "设计理论简述。" Ch. 1 in 当代设计理论：综述集 (Ed. J. H. Dinitz 和 D. R. Stinson)。纽约：Wiley，pp. 1-12，1992。Ryser, H. J. "The (b,v,r,k,lambda)-构型。" §8.1 in 组合数学。 Buffalo, NY: Math. Assoc. Amer.，pp. 96-102，1963。

在 上被引用

区组设计

请引用为

Weisstein, Eric W. "区组设计。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BlockDesign.html

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