构型

“构型”一词有时用于描述点的有限集合 ，，其中 是一个 欧几里得空间。

术语“构型”也用于描述具有以下性质的有限关联结构 (Gropp 1992)。

1. 有 个点和 条线。

2. 每条线上有 个点，每个点穿过 条线。

3. 两条不同的线最多 相交 一次，并且两个不同的点最多由一条线连接一次。

条件

是构型存在的 必要 条件。对于 ，这些条件也是 充分 的，而对于 ，情况可能也是如此 (Gropp 1992)。必要条件成立，但不存在 。对于 和 7，上述条件不是 充分 的，如阶数为 6 的仿射射影平面所示 (, ) 和射影平面 。

构型是最古老的组合结构之一，由 T. Reye 于 1876 年定义。一个 -正则图 可以被视为一个构型 ，通过将节点与点关联，并将边与线关联。

一个对称构型 由 条线和 个点组成，排列方式使得 条线穿过每个点，并且每条线上有 个点。所有对称 构型对于 都是已知的 (Betten et al. 2000)。, , , ... 构型的数量分别为 1, 1, 3, 10, 31, 229, 2036, 21399, 245342, ...，纠正了 von Sterneck 对于 的错误 (OEIS A001403; Sterneck 1894, 1895; Wells 1991, p. 72; Colbourn and Dinitz 1996; Gropp 1997; Hilbert and Cohn-Vossen 1999)。

法诺平面，其中中心点对应于 无穷远点，是唯一的 构型。它可以在阶数为 2 的 伽罗瓦域 上实现，但不能在实数或有理数上实现 (Gropp 1997)。不存在使用所有有限距离点的 构型 (Wells 1986, p. 75)。

不存在使用所有有限距离点的 构型 (Wells 1986, p. 75)，但存在一个具有 无穷远点 的构型 (Kantor 1891)。这被称为 莫比乌斯-康托尔构型 (Pisanski 和 Randić 2000)。

Kantor (1891) 表明存在三个 构型，其中 帕普斯构型（左图）是其中之一 (Coxeter 1950; Wells 1986, p. 75)。另外两个由嵌入的 等边三角形 组成 (Wells 1991, pp. 159-160)。

Kantor (1881) 证明恰好存在 10 个 构型，其中 德扎格构型（如上图所示）是其中之一。然而，虽然在论文中没有明确评论，但 Kantor 的 包含一条由两个方向略有不同的线段组成的线。Schroeter (1889) 随后证明，这些构型中恰好有一个不能在实平面或有理平面中绘制 (Gropp 1997)。

存在 31 个 构型 (Gropp 1997)，由 Martinetti (1887) 使用递归构造方法构建，随后由 Daublebsky von Sterneck (1895) 在平面上实现，尽管所有构型都可实现的证明直到 Sturmfels 和 White (1990) 的工作才出现。Page 和 Dorwart (1984) 讨论了 31 个 构型 (Wells 1991, p. 63)。

存在 229 个 构型，其中 228 个已由 Daublebsky von Sterneck (1895) 发现，直到 Gropp (1991) 的工作才找到缺失的一个。 构型之一有时被称为 考克斯特构型，尽管根据其 Levi 图（即 瑙鲁图）将其称为 瑙鲁构型 可能更好。Crapo et al. (1988) 的附录中出现了所有 和 构型的实现坐标。

考克斯特构型 是一个 构型，其 Levi 图 是 福斯特图 。

克雷莫纳-里士满构型（如上图所示）是 245342 个 构型之一。

存在一个称为 考克斯构型 的 构型。

下表总结了一些命名构型的 Levi 图。

名称	构型	Levi 图
考克斯构型		超立方体图
考克斯特构型		福斯特图
克雷莫纳-里士满构型		Tutte 8-笼
丹泽尔构型		丹泽尔图
德扎格构型		德扎格图
法诺平面		希伍德图
格雷构型		格雷图
格林鲍姆-里格比构型		格林鲍姆-里格比图
黑塞构型		黑塞图
克莱因构型		120-克莱因图
库默尔构型		库默尔图
米克尔构型		菱形十二面体图
莫比乌斯-康托尔构型		莫比乌斯-康托尔图
瑙鲁构型		瑙鲁图
帕普斯构型		帕普斯图
帕施构型		帕施图
雷耶构型		雷耶图
施莱夫利双六		施莱夫利双六图