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原始阶乘

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令 p_n 为第 n 个 素数，则原始阶乘（它是素数的通常阶乘的类比）定义为

p_n#=product_(k=1)^np_k.
(1)

p_n# 的值，当 n=1, 2, ... 时，为 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, ... (OEIS A002110)。

有时为了方便，将原始阶乘 n# 定义为不仅仅是素数的值，在这种情况下，它被定义为小于或等于 n 的所有素数的乘积，即，

n#=product_(k=1)^(pi(n))p_k,
(2)

其中 pi(n) 是素数计数函数。对于 n=1, 2, ...，n# 的前几个值是 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ... (OEIS A034386)。

PrimorialLimit

p_n# 的对数与 切比雪夫函数 theta(x) 密切相关，并且极限的简单重排

lim_(x->infty)x/(theta(x))=1
(3)

给出

lim_(n->infty)(p_n#)^(1/p_n)=e
(4)

(Ruiz 1997; Finch 2003, p. 14; Pruitt)，其中 e 是自然对数的常用底数。

另请参阅

切比雪夫函数, 欧几里得数, 阶乘, 阶乘素数, 斐波那契阶乘, 幸运素数, 素数积, 原始阶乘素数, 素数和, Smarandache 近原始阶乘函数, 双峰

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参考文献

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, 英格兰: Cambridge University Press, 2003.Pruitt, C. D. "A Theorem & Proof on the Density of Primes Utilizing Primorials." http://www.mathematical.com/mathprimorialproof.html.Ruiz, S. M. "A Result on Prime Numbers." Math. Gaz. 81, 269, 1997.Sloane, N. J. A. 序列 A002110/M1691 和 A034386 在 "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

原始阶乘

引用为

Weisstein, Eric W. "Primorial." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/Primorial.html

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