素数 Zeta 函数

素数 zeta 函数

其中求和针对 素数，是 黎曼 zeta 函数 的推广

其中求和针对所有正整数。换句话说，素数 zeta 函数 在正实轴上方示出，其中虚部用黄色表示，实部用红色表示。（与 Fröberg 图中出现的符号差异可能是由于 使用了不同的约定所致。）

对于此函数使用了各种术语和符号。术语“素数 zeta 函数”和符号 由 Fröberg (1968) 使用，而 Cohen (2000) 使用符号 。

当 时，该级数绝对收敛，其中 ，可以解析延拓到条带 (Fröberg 1968)，但由于 黎曼 zeta 函数 在 临界线 上的非平凡零点导致奇点沿 虚轴 聚集，因此无法延拓到直线 之外 (Landau and Walfisz 1920, Fröberg 1968)。

如上左图所示（其中 实部 用红色表示，虚部 用黄色表示），该函数在实轴上对于 具有奇点，其中 遍历所有无平方因子的正整数。对于 接近 1， 具有以下展开式

其中 且

(OEIS A143524)，其中 是 莫比乌斯函数，而 是 黎曼 zeta 函数 (Fröberg 1968)。

素数 zeta 函数在上面针对 和 绘制 (Fröberg 1968)。

素数 zeta 函数在上面在复平面中示出。

素数 zeta 函数可以用 黎曼 zeta 函数 表示为

反转后得到

(Glaisher 1891, Fröberg 1968, Cohen 2000)。

素数 zeta 函数在 Wolfram 语言 中实现为PrimeZetaP[s]。

合数 的 狄利克雷生成函数 由下式给出

，调和级数 的类似物，发散，但对于 的级数收敛是二次的。然而，从 的和中删除初始项（并将 欧拉-马歇罗尼常数 添加到结果中）得到简单的 梅尔滕斯常数

(OEIS A077761)。

阿廷常数 与 通过下式关联

其中 是 卢卡斯数 (Ribenboim 1998, Gourdon and Sebah)。

下表给出了前几个整数 （从 2 开始）的 值。Merrifield (1881) 计算了 在 高达 35 位到 15 位数字的值，Liénard (1948) 计算了 在高达 位到 50 位数字的值 (Ribenboim 1996)。Gourdon 和 Sebah 给出了 高达 60 位数字的值。

根据 Fröberg (1968) 的说法，关于根 知之甚少。上面的图显示了复平面一部分中零点的位置（左图）以及零实部（红色）和虚部（蓝色）的等值线，根以黑点表示（右图）。