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总计求和函数

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TotientSummatoryFunction

总计函数 求和函数 Phi(n) 的 总计函数 phi(n) 定义为

Phi(n)=sum_(k=1)^(n)phi(k)
(1)
=sum_(m=1)^(n)msum_(d|m)(mu(d))/d
(2)
=sum_(d=1)^(n)mu(d)sum_(d^'=1)^(|_n/d_|)d^'
(3)
=1/2sum_(d=1)^(n)mu(d)|_n/d_|(1+|_n/d_|)
(4)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 268)，如上红色曲线所示。 Phi(n) 的首几个值为 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, ... (OEIS A002088)。

Phi(n) 具有渐近级数

Phi(x)∼1/(2zeta(2))x^2+O(xlnx)
(5)
∼3/(pi^2)x^2+O(xlnx),
(6)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数 （Perrot 1881；Nagell 1951, p. 131；Hardy 和 Wright 1979, p. 268；如上蓝色曲线所示）。 Walfisz (1963) 提出的改进渐近估计由下式给出

Phi(x)∼(3x^2)/(pi^2)+O[x(lnx)^(2/3)(lnlnx)^(4/3)].
(7)
TotientInverseSummatory

考虑 1/phi(n) 的 求和函数，

S(N)=sum_(n=1)^N1/(phi(n)),
(8)

如上红色曲线所示。 对于 N=1, 2, ...，前几项为 1, 2, 5/2, 3, 13/4, 15/4, 47/12, 25/6, ... (OEIS A028415 和 A048049)。 当 N->infty 时，该和发散，但 Landau (1900) 证明了渐近行为由下式给出

S(N)∼A(gamma+lnN)+B+O((lnN)/N),
(9)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，

A=sum_(k=1)^(infty)([mu(k)]^2)/(kphi(k))
(10)
=(zeta(2)zeta(3))/(zeta(6))
(11)
=(315)/(2pi^4)zeta(3)
(12)
=1.9435964368...
(13)
B=sum_(k=1)^(infty)([mu(k)]^2lnk)/(kphi(k))
(14)
=1.18244...
(15)

(OEIS A082695)，mu(k) 是 莫比乌斯函数，zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数，而 p_k 是第 k 个素数 (Landau 1900; Halberstam 和 Richert 1974, pp. 110-111; DeKoninck 和 Ivić 1980, pp. 1-3; Finch 2003, p. 116; Havil 2003, p. 115; Dickson 2005)。

A 和 B 也可以写成

A=product_(k=1)^(infty)(1-p_k^(-6))/((1-p_k^(-2))(1-p_k^(-3)))
(16)
=product_(k=1)^(infty)[1+1/(p_k(p_k-1))]
(17)

和

B=Aproduct_(k=1)^(infty)(lnp_k)/(p_k^2-p_k+1)
(18)
=(315)/(2pi^4)zeta(3)product_(k=1)^(infty)(lnp_k)/(p_k^2-p_k+1),
(19)

分别地，使得这些常数在形式上类似于 Artin 常数 (Finch 2003, pp. 116-117)。

总和

C_(totient)=sum_(n=1)^(infty)1/(nphi(n))
(20)
=zeta(2)product_(p)[1+1/(p^2(p-1))]
(21)
=2.20386...
(22)

(OEIS A118262) 有时被称为总计常数 (Niklasch)，其中

product_(p)[1+1/(p^2(p-1))]=1.33978...
(23)

(OEIS A065483)，并且乘积取自素数 p。

另请参阅

素数乘积, 总计函数, 总计价函数

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参考文献

DeKoninck, J.-M. 和 Ivić, A. 算术函数主题：算术函数倒数和及相关领域的渐近公式。 Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1980.Dickson, L. E. 数论史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, pp. 113-158, 2005.Finch, S. R. "欧拉总计常数。" §2.7 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 115-119, 2003.Halberstam, H. 和 Richert, H.-E. 筛法。 New York: Academic Press, 1974.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "phi(n) 的平均阶数。" §18.5 in 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 268-269, 1979.Havil, J. Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Landau, E. "Über die zahlentheoretische Function phi(n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz." Nachr. Königlichen Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 177-186, 1900. Werke, Vol. 1 (Ed. L. Mirsky, I. J. Schoenberg, W. Schwarz, 和 H. Wefelscheid). Thales Verlag, pp. 106-115, 1983. Mitrinović, D. S. 和 Sándor, J. §I.27 in 数论手册。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1995.Nagell, T. "相对素数。欧拉 phi-函数。" §8 in 数论入门。 New York: Wiley, pp. 23-26, 1951.Niklasch, G. "一些数论常数。" http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml.Perrot, J. 1811. 引用于 Dickson, L. E. 数论史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 126, 2005.Sloane, N. J. A. 序列 A028415, A048049, A065483, A082695, A085609, A098468, 和 A118262 在“整数序列在线百科全书”中。Stephens, P. J. "二阶线性递归的素数除数，I。" J. Number Th. 8, 313-332, 1976.Walfisz, A. Ch. 5 in Weyl'sche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1963.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

总计求和函数

引用为

Weisstein, Eric W. “总计求和函数。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/TotientSummatoryFunction.html

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