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素数星座

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素数星座，也称为素数 k-元组，素数 k-元组或素数簇，是 k 个连续数字的序列，使得第一个和最后一个数字之间的差在某种意义上是最小的。更精确地说，素数 k-元组是连续素数 (p_1, p_2, ..., p_k) 的序列，其中 p_k-p_1=s(k), 其中 s(k) 是最小的数字 s，对于这个 s，存在 k 个整数 b_1<b_2<...<b_k, b_k-b_1=s 并且，对于每个素数 q，并非所有模 q 的剩余类都由 b_1, b_2, ..., b_k 表示 (Forbes)。对于每个 k，此定义排除了素数序列开头有限数量的簇。例如，(97, 101, 103, 107, 109) 满足素数 5 元组定义的条件，但 (3, 5, 7, 11, 13) 不满足，因为所有三个模 3 的剩余类都被表示 (Forbes)。

素数对，其中 s(2)=2 是 形如 (p, p+2) 的，称为孪生素数对。形如 (p, p+4) 的素数对称为表亲素数，形如 (p, p+6) 的素数对称为性感素数。

素数三元组具有 s(3)=6。星座 (p, p+2, p+4) 不可能存在，除非 p=3，因为 p, p+2 和 p+4 之一必须能被 3 整除。但是，存在几种可以存在的素数三元组类型：(p, p+2, p+6), (p, p+4, p+6), (p, p+6, p+12)。

素数四元组是四个连续素数的星座，最小距离为 s(4)=8，形式为 (p, p+2, p+6, p+8)。因此，序列 s(n) 以 2, 6, 8 开头，并继续 12, 16, 20, 26, 30, ... (OEIS A008407)。另一个四元组星座是 (p, p+6, p+12, p+18)。

Hardy 和 Wright (1979, p. 5) 猜想，并且似乎几乎可以肯定是真的，存在无限多的孪生素数 (p, p+2) 和素数三元组 形如 (p, p+2, p+6) 和 (p, p+4, p+6)。

第一个 Hardy-Littlewood 猜想指出，小于等于 <=x 的星座的数量渐近地由下式给出

P_x(p,p+2)∼2product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(1)
=1.320323632...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(2)
P_x(p,p+4)∼2product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(3)
=1.320323632...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(4)
P_x(p,p+6)∼4product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(5)
=2.640647264...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(6)
P_x(p,p+2,p+6)∼9/2product_(p>=5)(p^2(p-3))/((p-1)^3)int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(7)
=2.858248596...int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(8)
P_x(p,p+4,p+6)∼9/2product_(p>=5)(p^2(p-3))/((p-1)^3)int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(9)
=2.858248596...int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(10)
P_x(p,p+2,p+6,p+8)∼(27)/2product_(p>=5)(p^3(p-4))/((p-1)^4)int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(11)
=4.151180864...int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(12)
P_x(p,p+4,p+6,p+10)∼27product_(p>=5)(p^3(p-4))/((p-1)^4)int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(13)
=8.302361728...int_2^x(dx^')/((lnx^')^4).
(14)

这些数字有时被称为 Hardy-Littlewood 常数，并且是 OEIS A114907, ....

(◇) 有时被称为扩展的孪生素数猜想，并且

C_(p,p+2)=2Pi_2,
(15)

其中 Pi_2 是孪生素数常数。Riesel (1994) 评论说，Hardy-Littlewood 常数可以计算到任意精度，而无需无限的素数序列。

上面的积分具有解析形式

int_2^x(dx)/(ln^2x)=Li(x)+2/(ln2)-x/(lnx)
(16)
int_2^x(dx)/(ln^3x)=1/2Li(x)-x/(2ln^2x)-x/(2lnx)+1/(ln2)+1/(ln^22)
(17)
int_2^x(dx)/(ln^4x)=[(Li(x))/6-x/(3ln^3x)-x/(6ln^2x)-x/(6lnx)+2/(3ln^32)+1/(3ln^22)+1/(3ln2)],
(18)

其中 Li(x) 是对数积分。

下表给出了小于等于 <=10^8 的素数星座的数量，第二个表给出了 Hardy-Littlewood 公式预测的值。

计数10^510^610^710^8
(p,p+2)1224816958980440312
(p,p+4)1216814458622440258
(p,p+6)244716386117207879908
(p,p+2,p+6)2591393854355600
(p,p+4,p+6)2481444867755556
(p,p+2,p+6,p+8)381668994768
(p,p+6,p+12,p+18)7532516959330
Hardy-Littlewood10^510^610^710^8
(p,p+2)1249824858754440368
(p,p+4)1249824858754440368
(p,p+6)249716496117508880736
(p,p+2,p+6)2791446859155491
(p,p+4,p+6)2791446859155491
(p,p+2,p+6,p+8)531848634735
(p,p+6,p+12,p+18)

考虑其中每一项都形如 n^2+1 的素数星座。Hardy 和 Littlewood 表明，这种形式的小于 <x 的素数星座的数量由下式给出

P(x)∼Csqrt(x)(lnx)^(-1),
(19)

其中

C=product_(p>2; p prime)[1-((-1)^((p-1)/2))/(p-1)]=1.3727...
(20)

(Le Lionnais 1983)。

Forbes 给出了 k 元组中“前十名”素数的列表，对于 2<=k<=17。已知的最大 14-星座是 (11319107721272355839+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (10756418345074847279+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (6808488664768715759+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (6120794469172998449+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (5009128141636113611+0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)。

已知的最大 15-星座是 (84244343639633356306067+0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (8985208997951457604337+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3594585413466972694697+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3514383375461541232577+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3493864509985912609487+0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)。

已知的最大 16-星座是 (3259125690557440336637+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (1522014304823128379267+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (47710850533373130107+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)。

已知的最大 17-星座是 (3259125690557440336631+0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66), (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)。

Smith (1957) 发现了 8 个连续素数，其间距类似于簇 {p_n}_(n=5)^(12) (Gardner 1980)。K. Conrow 和 J. J. Devore 发现了 15 个连续素数，其间距类似于簇 {p_n}_(n=5)^(19)，由 {1632373745527558118190+p_n}_(n=5)^(19) 给出，其中第一个成员是 1632373745527558118201。

Rivera 列出了 k 个连续素数的最小示例，这些素数以给定数字 d=1, 3, 7 或 9 结尾，对于 k=5 到 11。例如，216401、216421、216431、216451、216481 是以数字 1 结尾的五个连续素数的最小集合。

另请参阅

簇素数, 表亲素数, 素数等差数列, 素数间隙, k 元组猜想, 素数乘积, 素数四元组, 素数三元组, 性感素数, 孪生素数

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参考文献

Cohen, H. "Hardy-Littlewood 常数的高精度计算"。预印本。 http://www.math.u-bordeaux.fr/~cohen/hardylw.dvi.Forbes, T. "大型素数四元组。" 1998 年 9 月 17 日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind9809&L=nmbrthry&P=992.Forbes, T. "素数簇和 Cunningham 链。" Math. Comput. 68, 1739-1748, 1999.Forbes, T. "素数 k-元组。" http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm.Gardner, M. "数学游戏。" Sci. Amer. 243, 1980 年 12 月。Guy, R. K. "素数的模式。" §A9 in 数论中未解决的问题，第 2 版。 纽约：Springer-Verlag, pp. 23-25, 1994.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. 数论导论，第 5 版。 牛津，英格兰：Clarendon Press, 1979.Rivera, C. "问题与谜题：谜题 016-连续素数和结尾数字。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_016.htm.Smith, H. F. "关于素数对问题的一种推广。" Math. Tables Aids Comput. 11, 249-254, 1957.Le Lionnais, F. 卓越的数字。 巴黎：Hermann, p. 38, 1983.Riesel, H. 素数和计算机分解方法，第 2 版。 波士顿，MA：Birkhäuser, pp. 60-74, 1994.Sloane, N. J. A. "整数序列在线百科全书"中的序列 A008407 和 A114907。

在 Wolfram|Alpha 中引用

素数星座

引用为

Weisstein, Eric W. "素数星座。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PrimeConstellation.html

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