切比雪夫函数

以下定义的两个函数 和 被称为切比雪夫函数。

函数 的定义如下

			(1)
			(2)
			(3)

(Hardy 和 Wright 1979, 第 340 页), 其中 是第 个 素数, 是 素数计数函数, 并且 是 素数阶乘。 此函数具有极限

(4)

以及渐近行为

(5)

(Bach 和 Shallit 1996; Hardy 1999, 第 28 页; Havil 2003, 第 184 页)。 符号 也常用于此函数 (Hardy 1999, 第 27 页)。

相关的函数 的定义如下

			(6)
			(7)

其中 是 曼戈尔特函数 (Hardy 和 Wright 1979, 第 340 页; Edwards 2001, 第 51 页)。 这里，总和遍历所有素数 和正整数 使得 ，因此可能多次包含某些素数。 的一个简单而优美的公式由下式给出

(8)

即，从 1 到 的数字的 最小公倍数 的对数 (更正了 Havil 2003, 第 184 页)。 对于 , 2, ... 的值是 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, ... (OEIS A003418; Selmer 1976)。 例如，

(9)

该函数也具有渐近行为

(10)

(Hardy 1999, 第 27 页; Havil 2003, 第 184 页)。

这两个函数通过以下公式相关

(11)

(Havil 2003, 第 184 页)。

切比雪夫证明了 , , 和 (Ingham 1995; Havil 2003, 第 184-185 页)。

根据 Hardy (1999, 第 27 页) 的说法，函数 和 在某些方面比 素数计数函数 更自然，因为它们处理素数的乘法而不是计数。