对称多项式

关于 个变量 , ..., 的对称多项式（也称为完全对称多项式）是一个函数，它在对其变量进行任何置换时保持不变。换句话说，对称多项式满足

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其中 且 是索引 1, 2, ..., 的任意置换。

对于固定的 ， 个变量的所有对称多项式的集合形成一个维度为 的代数。次数为 的单变量多项式 的系数是 的根的代数无关对称多项式，因此构成所有此类对称多项式集合的基。

对称多项式有四个常见的齐次基，每个基都由一个划分 索引（Dumitriu et al. 2004）。令 为 的长度，基本函数 、完全齐次函数 和幂和函数 定义为 时：

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当 时，定义为：

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其中 是 、 或 之一。此外，单项式函数 定义为

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其中 是在求和中给出不同项的置换集合，并且 被认为是无限的。

由于几种不同的缩写和约定被普遍使用，因此在确定正在使用的对称多项式时必须小心。

n 个变量 上的基本对称多项式 （有时表示为 或 ）定义为

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第 k 个基本对称多项式在 Wolfram 语言中实现为SymmetricPolynomial[k, x1, ..., xn].SymmetricReduction[f, x1, ..., xn] 给出 , ..., 中的一对多项式 ，其中 是对称部分， 是余数。

或者， 可以定义为生成函数中 的系数

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例如，对于四个变量 , ..., ，基本对称多项式为

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幂和 定义为

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和 , ..., 之间的关系由所谓的牛顿-吉拉德公式给出。相关函数 的参数由基本对称多项式（不是 ）给出，定义为

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结果表明， 由生成函数的系数给出

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因此，前几个值为

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一般来说， 可以从行列式计算得出

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（Littlewood 1958，Cadogan 1971）。特别地，

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（Schroeppel 1972），可以通过代入并乘开来验证。