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牛顿-吉拉德公式

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对称多项式 Pi_k(x_1,...,x_n) 和它们的变量的 k 次幂之和之间的恒等式

S_k(x_1,...,x_n)=sum_(j=1)^nx_j^k.
(1)

这些恒等式由下式给出

(-1)^mmPi_m(x_1,...,x_n)+sum_(k=1)^m(-1)^(k+m)S_k(x_1,...,x_n)Pi_(m-k)(x_1,...,x_n)=0
(2)

对于每个 1<=m<=n 以及任意数量的变量 n。

S_1-Pi_1=0
(3)
S_2-S_1Pi_1+2Pi_2=0
(4)
S_3-S_2Pi_1+S_1Pi_2-3Pi_3=0
(5)
S_4-S_3Pi_1+S_2Pi_2-S_1Pi_3+4Pi_4=0.
(6)

另请参阅

幂和, 对称多项式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Séroul, R. “牛顿-吉拉德公式。” §10.12 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 278-279, 2000.

在 Wolfram|Alpha 上引用

牛顿-吉拉德公式

引用为

Weisstein, Eric W. “牛顿-吉拉德公式。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Newton-GirardFormulas.html

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