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多重次数方程

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一个 (k,l)-多重次数方程是形如以下的丢番图方程 的形式

sum_(i=1)^ln_i^j=sum_(i=1)^lm_i^j
(1)

对于 j=1, ..., k, 其中 m 和 n 是 l-向量。如果一个常数被加到 m 和 n 的每个元素，多重次数恒等式仍然有效 (Madachy 1979)，因此多重次数方程总是可以被转化为其中一个向量的最小分量为 1 的形式。

Moessner 和 Gloden (1944) 给出了大量多重次数方程。小阶次的例子是 (2, 3)-多重次数方程，其中 m={1,6,8} 且 n={2,4,9}

sum_(i=1)^(3)m_i^1=sum_(i=1)^(3)n_i^1=15
(2)
sum_(i=1)^(3)m_i^2=sum_(i=1)^(3)n_i^2=101,
(3)

以及 (3, 4)-多重次数方程，其中 m={1,5,8,12} 且 n={2,3,10,11}

sum_(i=1)^(4)m_i^1=sum_(i=1)^(4)n_i^1=26
(4)
sum_(i=1)^(4)m_i^2=sum_(i=1)^(4)n_i^2=234
(5)
sum_(i=1)^(4)m_i^3=sum_(i=1)^(4)n_i^3=2366,
(6)

以及 (4, 6)-多重次数方程，其中 m={1,5,8,12,18,19} 且 n={2,3,9,13,16,20}

sum_(i=1)^(6)m_i^1=sum_(i=1)^(6)n_i^1=63
(7)
sum_(i=1)^(6)m_i^2=sum_(i=1)^(6)n_i^2=919
(8)
sum_(i=1)^(6)m_i^3=sum_(i=1)^(6)n_i^3=15057
(9)
sum_(i=1)^(6)m_i^4=sum_(i=1)^(6)n_i^4=260755
(10)

(Madachy 1979)。

一个壮观的例子，k=9 且 l=10，由 n={+/-12,+/-11881,+/-20231,+/-20885,+/-23738} 和 m={+/-436,+/-11857,+/-20449,+/-20667,+/-23750} (Guy 1994) 给出，其和为

sum_(i=1)^(9)m_i^1=sum_(i=1)^(9)n_i^1=0
(11)
sum_(i=1)^(9)m_i^2=sum_(i=1)^(9)n_i^2=3100255070
(12)
sum_(i=1)^(9)m_i^3=sum_(i=1)^(9)n_i^3=0
(13)
sum_(i=1)^(9)m_i^4=sum_(i=1)^(9)n_i^4=1390452894778220678
(14)
sum_(i=1)^(9)m_i^5=sum_(i=1)^(9)n_i^5=0
(15)
sum_(i=1)^(9)m_i^6=sum_(i=1)^(9)n_i^6=666573454337853049941719510
(16)
sum_(i=1)^(9)m_i^7=sum_(i=1)^(9)n_i^7=0
(17)
sum_(i=1)^(9)m_i^8=sum_(i=1)^(9)n_i^8=330958142560259813821203262692838598
(18)
sum_(i=1)^(9)m_i^9=sum_(i=1)^(9)n_i^9=0.
(19)

Rivera 考虑了涉及素数、连续素数等的多重次数方程。

类似于拉马努金的四次幂恒等式的多重次数恒等式形式

a_1^4+a_2^4+a_3^4=2a_4^m
(20)

也可以给出三次幂和五次幂的形式，前者是

(a^2+ab)^r+(a^2-ab)^r+(b^2+ab)^r+(b^2-ab)^r=2(p^2+q^2)^(kr)
(21)

对于任意正整数 k，r=1, 2, 3，其中

a=1/2[(p-qi)^k+(p+qi)^k]
(22)
b=1/2i[(p-qi)^k-(p+qi)^k]
(23)

以及五次幂的形式

[(a+c)^n+(b+c)^n+(a+b+c)^n+(-a-b+c)^n+(-b+c)^n+(-a+c)^n](2/3)^n=2(p^2+pq+q^2)^(hn)
(24)

对于任意正整数 h，n=1, 3, 5，其中

a=(omega(p-qomega)^(2h)-(p-qomega^2)^(2h))/(omega-1)
(25)
b=((p-qomega)^(2h)-(p-qomega^2)^(2h))/(omega(omega-1))
(26)
c=1/2(p^2+pq+q^2)^h
(27)

其中 omega 是复数单位立方根，且 a 和 b 在两种情况下对于任意有理数 p 和 q 都是有理数。

作为二元二次型的多重次数和-积恒等式也存在于三次幂、四次幂、五次幂。这些是以下几对中的第二个。

对于三次幂，k.4.4,

(ax+v_1y)^k+(bx-v_1y)^k+(cx-v_2y)^k+(dx+v_2y)^k =(ax-v_1y)^k+(bx+v_1y)^k+(cx+v_2y)^k+(dx-v_2y)^k (ax^2-v_1xy+bwy^2)^k+(bx^2+v_1xy+awy^2)^k+(cx^2+v_2xy+dwy^2)^k+(dx^2-v_2xy+cwy^2)^k =(a^k+b^k+c^k+d^k)(x^2+wy^2)^k
(28)

对于 k=1, 3, (v_1,v_2)=(c^2-d^2,a^2-b^2), 且 w=(a+b) 或 (c+d)，对于任意 a, b, c, d, x 和 y。

对于四次幂，k.3.3,

(ax+v_1y)^k+(bx-v_2y)^k+(cx-v_3y)^k =(ax-v_1y)^k+(bx+v_2y)^k+(cx+v_3y)^k +(ax^2+2v_1xy-3ay^2)^k+(bx^2-2v_2xy-3by^2)^k+(cx^2-2v_3xy-3cy^2)^k=(a^k+b^k+c^k)(x^2+3y^2)^k
(29)

对于 k=2, 4, (v_1,v_2,v_3,c)=(a+2b,2a+b,a-b,a+b), 对于任意 a, b, x, y。

对于五次幂，k.6.6,

(a_1x+v_1y)^k+(a_2x-v_2y)^k+(a_3x+v_3y)^k+(a_4x-v_3y)^k+(a_5x+v_2y)^k+(a_6x-v_1y)^k =(a_1x-v_1y)^k+(a_2x+v_2y)^k+(a_3x-v_3y)^k+(a_4x+v_3y)^k+(a_5x-v_2y)^k+(a_6x+v_1y)^k =(a_1x^2+2v_1xy+3a_6y^2)^k+(a_2x^2-2v_2xy+3a_5y^2)^k+(a_3x^2+2v_3xy+3a_4y^2)^k+(a_4x^2-2v_3xy+3a_3y^2)^k+(a_5x^2+2v_2xy+3a_2y^2)^k+(a_6x^2-2v_1xy+3a_1y^2)^k =(a_1^k+a_2^k+a_3^k+a_4^k+a_5^k+a_6^k)(x^2+3y^2)^k
(30)

对于 k=1, 2, 3, 4, 5, (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=(a+c,b+c,-a-b+c,a+b+c,-b+c,-a+c), (v_1,v_2,v_3)=(a+2b,2a+b,a-b) (与四次幂的 v_i 相同)，对于任意 a, b, c, x, y 以及一个使用 sqrt(2) 的七次幂形式。

对于七次幂，k.8.8,

(a_1x+v_1y)^k+(a_2x+v_2y)^k+(a_3x+v_3y)^k+(a_4x+v_4y)^k +(a_5x-v_4y)^k+(a_6x-v_3y)^k+(a_7x-v_2y)^k+(a_8x-v_1y)^k =(a_1x-v_1y)^k+(a_2x-v_2y)^k +(a_3x-v_3y)^k+(a_4x-v_4y)^k +(a_5x+v_4y)^k+(a_6x+v_3y)^k+(a_7x+v_2y)^k+(a_8x+v_1y)^k +(a_1x^2+v_1xy+a_8y^2)^k+(a_2x^2+v_2xy+a_7y^2)^k +(a_3x^2+v_3xy+a_6y^2)^k+(a_4x^2+v_4xy+a_5y^2)^k +(a_5x^2-v_4xy+a_4y^2)^k+(a_6x^2-v_3xy+a_3y^2)^k +(a_7x^2-v_2xy+a_2y^2)^k+(a_8x^2-v_1xy+a_1y^2)^k =(a_1^k+a_2^k+a_3^k+a_4^k+a_5^k+a_6^k+a_7^k+a_8^k)(x^2+y^2)^k
(31)

对于 k=1 到 7, (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8)=(sqrt(2)a+c,sqrt(2)b+c,-a+b+c,-a-b+c,a+b+c,a-b+c,-sqrt(2)b+c,-sqrt(2)+c), (v_1,v_2,v_3,v_4)=(2sqrt(2)b,-2sqrt(2)a,-2(a+b),2(a-b)), 对于任意 a, b, c, x, y (Piezas 2006)。

对于 k.4.4，k=1, 2, 3, 5，存在一个多重次数 5 参数二元二次型恒等式。给定任意变量 a, b, c, x, y，并定义 u=a^2-b^2 和 v=b^2-c^2，则

[(-a+b+c)x^2+2(cu-bv)xy-(a+b+c)uvy^2]^k+[(a-b+c)x^2+2(cu+bv)xy+(a+b-c)uvy^2]^k+[(a+b-c)x^2+2(-cu-bv)xy+(a-b+c)uvy^2]^k+[-(a+b+c)x^2+2(-cu+bv)xy+(-a+b+c)uvy^2]^k-[-(a+b+c)x^2+2(-bu+av)xy+(a+b-c)uvy^2]^k-[(a+b-c)x^2+2(bu-av)xy-(a+b+c)uvy^2]^k-[(a-b+c)x^2+2(-bu-av)xy+(-a+b+c)uvy^2]^k-[(-a+b+c)x^2+2(bu+av)xy+(a-b+c)uvy^2]^k=0
(32)

对于 k=1, 2, 3, 5 (T. Piezas, 私人通讯，2006年4月27日)。

Chernick (1937) 给出了一个多重次数二元二次型参数化，用于 k.4.4，k=2, 4, 6，由以下公式给出

(5m^2+9mn+10n^2)^k+(m^2-13mn-6n^2)^k+(7m^2-5mn-8n^2)^k+(9m^2+7mn-4n^2)^k =(9m^2+5mn+4n^2)^k+(m^2+15mn+8n^2)^k+(5m^2-7mn-10n^2)^k+(7m^2+5mn-6n^2)^k,
(33)

一个依赖于寻找 4a^2+ab+b^2=7c^2 解的方程。

Sinha (1966ab) 给出了一个多重次数二元二次型参数化，用于 k.5.5，k=1, 3, 5, 7，由以下公式给出

(-7m^2+62mn-30n^2)^k+(7m^2+38mn-50n^2)^k+(5m^2-8mn-22n^2)^k+(19m^2-32mn-42n^2)^k+(-19m^2+36mn-62n^2)^k =(-9m^2+66mn-42n^2)^k+(5m^2+42mn-62n^2)^k+(-21m^2+38mn-22n^2)^k+(9m^2-14mn-50n^2)^k+(21m^2-36mn-30n^2)^k
(34)

它依赖于解方程组 a_1^j+a_2^j+a_3^j=b_1^j+b_2^j+b_3^j，其中 j=2 和 4，且 a_i 和 b_i 满足某些其他条件。

Sinha (1966ab) 使用 Letac 的一个结果，也给出了一个多重次数参数化，用于 k.5.5，k=1, 2, 4, 6, 8，由以下公式给出

(a-r)^k+(a+r)^k+(3b-t)^k+(3b+t)^k+(4a)^k =(b-t)^k+(b+t)^k+(3a-r)^k+(3a+r)^k+(4b)^k,
(35)

其中 a^2+12b^2=r^2 且 12a^2+b^2=t^2。一个非平凡解可以由 a=109, b=11869/2 给出，Sinha 和 Smyth 在 1990 年证明存在无限多个不同的非平凡解。

另请参阅

丢番图方程, Prouhet-Tarry-Escott 问题

此条目的部分内容由 Tito Piezas III 贡献

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参考文献

Chernick, J. "Ideal Solutions of the Tarry-Escott Problem." Amer. Math. Monthly 44, 62600633, 1937.Gloden, A. Mehrgeradige Gleichungen. Groningen, Netherlands: Noordhoff, 1944.Gloden, A. "Sur la multigrade A_1, A_2, A_3, A_4, A_5=^kB_1, B_2, B_3, B_4, B_5 (k=1, 3, 5, 7)." Revista Euclides 8, 383-384, 1948.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 143, 1994.Kraitchik, M. "Multigrade." §3.10 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, p. 79, 1942.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 171-173, 1979.Moessner, A. and Gloden, A. "Einige Zahlentheoretische Untersuchungen und Resultate." Bull. Sci. École Polytech. de Timisoara 11, 196-219, 1944.Piezas, T. "Ramanujan and Fifth Power Identities." http://www.geocities.com/titus_piezas/Ramfifth.html.Piezas, T. "Binary Quadratic Forms as Equal Sums of Like Powers." http://www.geocities.com/titus_piezas/Binary_quad.html.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 065-Multigrade Relations." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_065.htm.Sinha, T. "On the Tarry-Escott Problem." Amer. Math. Monthly 73, 280-285, 1966a.Sinha, T. "Some System of Diophantine Equations of the Tarry-Escott Type." J. Indian Math. Soc. 30, 15-25, 1966b.

Wolfram|Alpha 引用

多重次数方程

请引用为

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. “多重次数方程。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MultigradeEquation.html

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